109 師大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 3 頁、11 大題、100 分，申論題，卷面沒寫倒扣。卷面注意事項是「請依序在答案卷上作答，並標明題號，不必抄題」與「答案必須寫在指定作答區內，否則依規定扣分」。

卷首有 Some related notations，定義 column vector、orthogonal complement S⊥、transpose 與 orthogonal matrix。

線性代數考點（1–5，50%）

• 第 1 題（8%）｜T : R² → R³ 是 linear transformation，T((−1, 0)^T) = (−2, 1, 3)^T、T((0, 2)^T) = (2, 4, −2)^T，求 T(x₁, x₂)^T 對任意 R² 向量的式子
• 第 2 題（12%）｜T(x₁, x₂, x₃, x₄) = (x₁ − 2x₂ + x₃ + x₄, 2x₁ − 5x₂ + x₃ + 3x₄, x₁ − 3x₂ + 2x₄)：(a) 求 T 的 range 的 basis (b) 求 T 的 null space 的 basis
• 第 3 題（8%）｜R³ 上的 linear operator T(x₁, x₂, x₃) = (c·x₁, −x₁ − 3x₂ − x₃, −8x₁ + x₂ − 5x₃)，characteristic polynomial 為 −(t − c)(t + 4)²，求所有使 T 不 diagonalizable 的 c
• 第 4 題（12%）｜u = (1, 3, 7)^T，W 是 x₁ − 2x₂ + 3x₃ = 0 的解集合：(a) 求 orthogonal projection 矩陣 P_W (b) 求唯一的 w ∈ W 與 z ∈ W⊥ 使 u = w + z
• 第 5 題（10%）｜A = [[4, 2, 2], [2, 4, 2], [2, 2, 4]]，求 orthogonal matrix P 與 diagonal matrix D 使 P^TAP = D

離散數學考點（6–11，50%）

• 第 6 題（8%）｜用 quantifier 寫出「No student in the class answers this question.」的否定，再用英文寫出這個否定
• 第 7 題（8%）｜搬 n 塊磚，每次可以搬一塊或兩塊：(1) 求搬法數的 recurrence (2) 初始條件
• 第 8(1) 題｜A = {a, c, c, c, e, e, e, e, e}、B = {e, c, a}，判斷 A 與 B 是否相等
• 第 8(2) 題｜畫出 f(x) = ⌈0.4x⌉（R → R）的圖形
• 第 9(1) 題｜給 a、b、c、d、e 五個頂點、有重邊的圖，判斷是否有 Euler path，有就寫出一條
• 第 9(2) 題｜判斷 {1, 2, 3, 4} 上的關係 R = {(1,1), (2,2), (3,1), (3,3), (3,4), (4,3), (4,4)} 是否為 partial order
• 第 10 題（8%）｜求 55 模 102 的 inverse
• 第 11 題（10%）｜用 strong induction 證明：一次可以爬一階或兩階，且爬到某一階之後總能再爬兩階，則可以爬到任意階數

第 7、8、9 題各 8 分，各分兩小題，卷面沒有標小題配分。

作答時要注意的地方

1. 全卷申論題，卷面沒寫倒扣。
2. 第 1 題給的兩個輸入向量不是 standard basis，第二個是 (0, 2)^T。
3. 第 3 題題目已給 characteristic polynomial，題目要的是所有使 T 不 diagonalizable 的 c。
4. 第 4 題 (b) 要寫出 w 與 z 兩個向量。
5. 第 6 題要寫出 quantifier 形式與英文兩種表示。
6. 第 7 題 recurrence 與初始條件分兩小題作答。
7. 第 9(1) 題有 Euler path 時要寫出路徑。
8. 第 11 題指定用 strong induction。

準備方向

• 由像決定 linear transformation：109 第 1 題；107 第 2 題、112 第 2 題也有。
• RREF、rank 與四大 subspace：109 第 2 題；106 第 1、2 題、107 第 1 題、108 第 1 題、110 第 2 題、111 第 6 題、112 第 1 題、113 第 1 題、114 第 1 題、115 第 1(a) 題也有。
• eigenvalue、diagonalization 與 eigenspace：109 第 3、5 題；106 第 4 題、107 第 3、5 題、108 第 3 題、111 第 9 題、112 第 4 題、113 第 2(b)、4 題、114 第 2、5 題、115 第 1(b) 題也有。
• orthogonal projection、reflection 與最近向量：109 第 4 題；108 第 4 題、110 第 3、4 題、111 第 10 題、112 第 5 題、113 第 3 題、114 第 4 題、115 第 3 題也有。
• 邏輯與 quantifier：109 第 6 題；106 第 6、7(1) 題、107 第 7 題、108 第 9 題、110 第 10(1) 題、111 第 4(1) 題也有。
• recurrence 與遞迴定義：109 第 7 題；107 第 8(a) 題、110 第 7 題、111 第 1 題、114 第 9(b) 題也有。
• 集合（位元字串、元素個數、相等）：109 第 8(1) 題；107 第 6(a) 題、108 第 12(2) 題也有。
• floor 與 ceiling 函數的圖形：109 第 8(2) 題；108 第 7(2) 題也有。
• 圖論：109 第 9(1) 題；106 第 7(4) 題、107 第 6(d) 題、108 第 6(4)、8(4) 題、110 第 8(2) 題、111 第 5 題、112 第 9 題、113 第 5 題、114 第 6、7 題、115 第 5、6 題也有。
• 關係與函數：109 第 9(2) 題；106 第 9(2)、12 題、107 第 6(b)、9(b)(c)(d) 題、108 第 6(3)、8(3) 題、110 第 8(1) 題、111 第 3 題、112 第 6、8 題、114 第 9 題也有。
• congruence 與數論：109 第 10 題；106 第 7(2)(3)、10 題、107 第 10 題、108 第 8(1)、12(1) 題、111 第 4(2) 題、112 第 7 題、113 第 7 題、114 第 8 題、115 第 7 題也有。
• induction：109 第 11 題；107 第 12 題、108 第 13 題也有。