109 中山資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 1 頁、9 題、100 分，不可使用計算機。卷首規定每題都要寫出詳細步驟，否則該題不給分。

逐題考點

• 第 1 題（12%）｜10 顆相同的綠球放進 5 個相異容器：(a) 6% 每個容器都不能空 (b) 6% 第三個容器的球數為偶數
• 第 2 題（10%）｜a、b 為正奇數，證明 2 | (a² + b²) 但 4 ∤ (a² + b²)
• 第 3 題（12%）｜|A| = 7：(a) 6% f: A×A → A 的 closed binary operation 有幾個 (b) 6% 其中 commutative 的有幾個
• 第 4 題（10%）｜禮堂有 900 個座位，至少要坐幾個人，才能保證有兩人的姓與名首字母相同
• 第 5 題（10%）｜3600 個相同的信封，以 25 個為一包，分給五個學生團體，每個團體至少 150 個、至多 1000 個，問分法數
• 第 6 題（12%）｜非負整數 n 的分割，求 generating function：(a) 6% 每個被加數都出現偶數次 (b) 6% 每個被加數都是偶數
• 第 7 題（10%）｜a_n（n ≥ 0）是 recurrence relation a_n+1 − d·a_n = 0 的唯一解，a₃ = 156/77、a₅ = 1628/6336，求 d
• 第 8 題（12%）｜complete bipartite graph K_m,n（m、n ∈ Z⁺）：(a) 6% 頂點數與邊數 (b) 6% K_m,12 有 72 條邊時，求 m
• 第 9 題（12%）｜a、b、n ∈ Z⁺ 且 n > 1，證明 a ≡ b (mod n) ⇒ gcd(a,n) = gcd(b,n)

作答時要注意的地方

1. 100 分鐘要寫 9 題，每題都要寫完整步驟。
2. 第 1、3、6、8 題各分兩個 6 分的小題，其餘各題單題 10 或 12 分。
3. 第 1、3、6、8、9 題各 12 分，第 2、4、5、7 題各 10 分。
4. 第 7 題給的是 a₃ 與 a₅ 兩項的值。

準備方向

• 相同球放進相異容器並加限制（109 第 1 題），113 第 1 題、114 第 7 題也有偶數限制。
• 有上下限的分配（109 第 5 題），113 第 8 題以包裝數量為單位，結構相同。
• 整數分割的 generating function（109 第 6 題），106 第 2 題、107 第 1、2 題、108 第 7 題、113 第 10 題也有 generating function。
• closed binary operation 與函數計數（109 第 3 題），113 第 6 題、114 第 3 題、115 A8 也有函數或運算的題目。
• pigeonhole principle（109 第 4 題），108 第 5 題、110 第 3 題、111 第 1 題、112 第 3 題也有。
• congruence 與 gcd 的證明（109 第 9 題），112 第 8 題與它題目完全相同，108 第 8 題也是 congruence 證明。
• 整除性質的證明（109 第 2 題），110 第 2 題、112 第 2 題、113 第 3 題也有數論證明。
• 圖論（109 第 8 題），106 第 4 題考 k-cube 與 bipartite graph。