109 成大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、6 題、100 分，不可使用計算機。

線性代數考點（1–3）

• 第 1 題（25%）｜是非題，五小題各 5%
• 第 1(a) 題｜rank(A) = rank(B) 是否蘊含 rank(A²) = rank(B²)
• 第 1(b) 題｜L 的 standard matrix 為 A 時，L² 的 standard matrix 是否為 A²
• 第 1(c) 題｜兩個 linear operator 的和是否仍是 linear operator
• 第 1(d) 題｜N(A) = {0} 時 Ax = b 是否有唯一 least squares 解
• 第 1(e) 題｜{u₁,…,u_k} 為 Rⁿ 中的 orthonormal set 時，UU^T 是否等於 I_n
• 第 2 題（10%）｜求 3×3 矩陣 A 的 Gram-Schmidt QR 分解
• 第 3 題（15%）｜計算 e^At（matrix exponential 乘上純量 t）

離散數學考點（4–6）

• 第 4 題（10%）｜判斷並說明理由：畢業後 49 天內每天至少投一份履歷、總共不超過 70 份，則必存在連續幾天恰好投出 27 份
• 第 5 題（20%）｜n×n 的 tridiagonal matrix（主對角 y、上下兩條次對角 x）的 determinant D_n：(a) 6% 求 D_n 的 recurrence relation (b) 7% y = x 時 D_n 的 closed form (c) 7% y = 2x 時 D_n 的 closed form
• 第 6 題（20%）｜若 G 與 Ḡ 互為 complement graph 且頂點數 ≥ X，則 G 或 Ḡ 至少有一個是 nonplanar graph：(a) 10% 求 X 的值 (b) 10% 說明理由

作答時要注意的地方

1. 第 1 題 25 分，五小題都是是非題。
2. 第 5 題的 (b)(c) 要用 (a) 的 recurrence。
3. 第 1 題 25 分，是全卷配分最高的一題，第 5、6 題各 20 分。

準備方向

• pigeonhole principle：109 第 4 題、110 第 2(b) 題、115 第 3 題。
• planar graph 的邊數上界與 Euler's formula：109 第 6 題、115 第 2 題。
• tridiagonal matrix determinant 的遞迴：106 第 6 題、109 第 5 題。
• matrix exponential：109 第 3 題、111 第 8 題。
• 「UU^T = I」是否成立：109 第 1(e) 題、114 第 9(c) 題。
• Gram-Schmidt QR 分解：109 第 2 題、110 第 5 題。