109 中正資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、11 題、100 分。沒有選擇題，答案寫在試卷（答案卷）作答區內，限用藍色或黑色筆（含鉛筆），試題須隨試卷繳還。入場後 40 分鐘內不得離場。卷面沒有倒扣規定。

線性代數考點（1–5，50%）

• 第 1 題（10%）｜求一個 3×3 矩陣的 determinant
• 第 2 題（15%）｜求 R⁴ 中三個 subspace 的 dimension。(a) 5%：形如 (a,b,c,0) 的所有向量。(b) 5%：形如 (a,b,c,d) 且 d = a+b、c = a−b。(c) 5%：形如 (a,b,c,d) 且 a = b = c = d
• 第 3 題（10%）｜已知一個 3×3 矩陣 A 的 eigenvalue 為 1、−2、−2，求 orthogonal matrix P 與 diagonal matrix D 使 A = PDP^T
• 第 4 題（6%）｜給 R³ 中兩個單位向量 v₁ = (2/3,−1/3,−2/3)^T、v₂ = (−√2/2,0,−√2/2)^T，求 v₃ 使三者構成 orthonormal basis，並回答答案有幾種
• 第 5 題（9%）｜2×2 矩陣 A 的 eigenvalue 為 λ₁ = 2、λ₂ = −1，對應 eigenvector 為 v₁ = (2,−1)^T、v₂ = (1,−1)^T。(a) 3%：求 A。(b) 2%：A+I 的 eigenvalue。(c) 4%：算 (A+I)¹⁰⁰

離散數學考點（6–11，50%）

• 第 6 題（5%）｜n 維 hypercube Q_n 的頂點是長度 n 的位元串，兩頂點相鄰若且唯若恰有一位不同。要求依定義畫出 Q₄
• 第 7 題（10%）｜recurrence：a_n² − 2a_n−1² = 1（n ≥ 1），a₀ = 1，求解
• 第 8 題（10%）｜給一張四個頂點的圖，求 a 到 d 長度為 4 的路徑有幾條，並列出所有路徑
• 第 9 題（10%）｜congruence。(a) 5%：求 144 在模 233 下的 inverse。(b) 5%：解 144x ≡ 7 (mod 233)
• 第 10 題（5%）｜pigeonhole principle。(a) 3%：從 52 張標準撲克牌中至少抽幾張，才保證有五張同花色。(b) 2%：至少抽幾張才保證有五張紅心
• 第 11 題（10%）｜二進位字串。(a) 5%：長度 n 且含有連續三個 0 的字串個數，寫出 recurrence relation。(b) 2%：初始條件。(c) 3%：長度 7 的字串中含有連續三個 0 的有幾個

作答時要注意的地方

1. 全卷沒有選擇題，卷面沒有倒扣規定。
2. 第 6 題要求畫出圖，第 8 題要求列出所有路徑，第 7 題的 recurrence 是平方形式。
3. 第 11 題問的是「含有」連續三個 0。

準備方向

• 二進位字串的 recurrence（109 第 11 題），110 第 9 題、112 第 7 題也有，三年都拆成 recurrence、初始條件、長度 7 的個數三小題。
• modular inverse 與線性 congruence（109 第 9 題），110 第 7 題模數同樣是 233，106 第 6 題是模 43。
• recurrence a_n² − 2a_n−1² = 1（109 第 7 題），114 第 7 題是同一題。
• 矩陣高次冪（109 第 5(c) 題），111 第 4 題、114 第 4 題也有。
• 補完 orthonormal basis 並問有幾種選法（109 第 4 題），110 第 4(a) 題也有。
• pigeonhole principle（109 第 10 題問撲克牌花色），108、110、112、114 考的是湊三對和為定值。
• hypercube Q_n（109 第 6 題），113 第 9(e) 題也用到 Q₄。