109 中正資工所數學考點分析｜國立中正大學

線代 45 分全部是課本標準題（行列式、子空間維度、正交對角化），離散 55 分考超立方體 Q₄、模反元素與二進位字串遞迴。

題型與配分

系所組別「資訊工程學系－甲組、乙組」，科目名稱：數學，第 1 節考，本科目共 2 頁、11 題、100 分。

申論卷、寫在答案卷上、無倒扣、限藍黑筆，考試開始後 40 分鐘內不得離場。

第 1 題（10%）｜求 3×3 行列式——最基本的送分題
第 2 題（15%）｜求子空間的維度（R⁴ 的三個子空間）
(a) 5%：形如 (a, b, c, 0) 的所有向量 → 維度 3
(b) 5%：形如 (a, b, c, d) 且 d = a+b、c = a−b → 兩個自由變數 → 維度 2
(c) 5%：形如 (a, b, c, d) 且 a = b = c = d → 維度 1
第 3 題（10%）｜正交對角化：已知 A 的特徵值為 1、−2、−2（有重根），求正交矩陣 P 與對角矩陣 D 使 A = PDP^T。重根的特徵空間要用 Gram-Schmidt 正交化
第 4 題（6%）｜補完單位正交基底：給 R³ 中兩個單位正交向量 v₁、v₂，求 v₃ 使三者成為單位正交基底，並回答有幾種選法（兩種：±v₁×v₂）
第 5 題（9%）｜由特徵值反推矩陣再算高次冪：已知 2×2 矩陣 A 的特徵值與對應特徵向量
(a) 3%：求 A
(b) 2%：求 (A+I) 的特徵值（原特徵值各加 1）
(c) 4%：算 (A+I)¹⁰⁰ ——用 PD¹⁰⁰P⁻¹，不能硬乘

第 6 題（5%）｜畫出 Q₄：n 維超立方體 Q_n 的頂點是長度 n 的位元串，兩頂點相鄰若且唯若恰有一位不同。要真的把 16 個頂點、32 條邊畫出來
第 7 題（10%）｜非齊次一階遞迴：a_n − 2a_n−1 = 1、a₀ = 1。齊次解 c·2ⁿ、特解 −1，得 a_n = 2ⁿ⁺¹ − 1
第 8 題（10%）｜數長度 4 的路徑：給一張圖，求 a 到 d 長度為 4 的路徑有幾條，並列出所有路徑。可用鄰接矩陣的 A⁴ 驗算，但題目要求列舉
第 9 題（10%）｜模反元素與線性同餘
(a) 5%：求 144 在模 233 下的反元素（用擴展歐幾里得演算法）
(b) 5%：解 144x ≡ 7 (mod 233)
第 10 題（5%）｜鴿籠原理（撲克牌）
(a) 3%：從 52 張牌至少抽幾張才保證有五張同花色（4×4+1 = 17）
(b) 2%：至少抽幾張才保證有五張紅心（39+5 = 44）——(a) 與 (b) 的差別是「任一花色」與「指定花色」
第 11 題（10%）｜二進位字串的遞迴式
(a) 5%：長度 n 且含有連續三個 0 的字串個數，求遞迴關係
(b) 2%：初始條件
(c) 3%：長度 7 的答案

第 3 題的重根正交對角化：λ = −2 的特徵空間是二維，必須先求出兩個線性獨立的特徵向量再做 Gram-Schmidt，直接單位化會得到非正交的 P。
第 9(a) 的擴展歐幾里得：233 是質數、144 是 Fibonacci 數，輾轉相除會跑很多步（144、89、55、34、21、13、8、5、3、2、1），很容易在回代時算錯。
第 10(a) 與 (b) 的對比是鴿籠原理最常見的陷阱——「保證五張同一花色」是 4×4+1，「保證五張紅心」則要考慮最壞情況先抽光其他 39 張。
第 11 題問「含有」連續三個 0（不是「不含」），遞迴式要用總數 2ⁿ 減去不含的個數，比直接遞推容易。