110 中正資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、10 題、100 分。沒有選擇題，答案寫在試卷（答案卷）作答區內，限用藍色或黑色筆（含鉛筆），試題須隨試卷繳還。卷面沒有倒扣規定。

線性代數考點（1–5，50%）

• 第 1 題（12%）｜給矩陣 A 與它的 reduced row echelon form。(a) 3%：null space 的 basis。(b) 3%：row space 的 basis。(c) 3%：column space 的 basis。(d) 3%：A 的 rank 與 nullity
• 第 2 題（8%）｜四個向量 span R³ 的 subspace V，但不是 V 的 basis。(a) 4%：從中選出一個子集當作 V 的 basis。(b) 4%：把這組 basis 擴充成 R³ 的 basis
• 第 3 題（10%）｜P 是過原點、由 v₁ 與 v₂ span 的平面。(a) 5%：P 的 orthonormal basis。(b) 5%：P 上離 (1,0,0) 最近的點
• 第 4 題（10%）｜給 R³ 中兩個單位向量 v₁、v₂。(a) 3%：求 v₃ 使三者構成 orthonormal basis B，並回答答案有幾種。(b) 3%：linear transformation T 把 v₁ 與 v₃ 互換，並以 v₂ 為 eigenvalue −5 的 eigenvector，寫出 T 相對 B 的矩陣。(c) 4%：寫出一個乘積式，使它等於 T 的 standard matrix
• 第 5 題（10%）｜簡述下列矩陣分解，並寫出各自的成立條件。(a) 5%：QR 分解。(b) 5%：SVD

離散數學考點（6–10，50%）

• 第 6 題（10%）｜predicate logic 真假判斷，domain of discourse 為全體實數，五小題各 2 分：∀x∃y(x² = y)、∀x∃y(x = y²)、∀x(x² ≠ x)、∀x(|x| > 0)、∃x∃y(x+2y = 2 ∧ 2x+4y = 5)
• 第 7 題（10%）｜congruence。(a) 5%：求 72 在模 233 下的 inverse。(b) 5%：解 72x ≡ 6 (mod 233)
• 第 8 題（10%）｜pigeonhole principle：從前 10 個正整數中最少選幾個，才能保證至少有三對的和為 11
• 第 9 題（10%）｜二進位字串。(a) 5%：長度 n 且不含兩個連續 0 的字串個數，寫出 recurrence relation。(b) 2%：初始條件。(c) 3%：長度 7 的字串中不含兩個連續 0 的有幾個
• 第 10 題（10%）｜complement graph。(a) 5%：simple graph G 有 20 條邊、complement graph Ḡ 有 16 條邊，問 G 有幾個頂點。(b) 5%：G 有 x 個頂點、y 條邊，求 Ḡ 的邊數

作答時要注意的地方

1. 全卷沒有選擇題，卷面沒有倒扣規定。
2. 第 1 題給了 A 與它的 RREF，四個小題都以這一組矩陣作答。
3. 第 5 題要求用文字說明並寫出成立條件。
4. 第 6 題的 domain of discourse 是全體實數。

準備方向

• subspace basis 與 rank、nullity（110 第 1 題），112 第 3 題、114 第 3 題也有。
• 用文字說明矩陣分解的成立條件（110 第 5 題），112 第 2 題考 spectral decomposition 與 SVD，107 第 4 題、115 第 7 題考 SVD 的計算。
• predicate logic 真假判斷（110 第 6 題），112 第 5 題、114 第 5 題也有，114 第 5 題的前五小題與 110 第 6 題相同。
• modular inverse 與線性 congruence（110 第 7 題），109 第 9 題模數同樣是 233，106 第 6 題是模 43。
• pigeonhole principle 湊三對和為定值（110 第 8 題），108、112、114 也有。
• 二進位字串遞迴（110 第 9 題），109 第 11 題、112 第 7 題也有。
• complement graph 的邊數與頂點數（110 第 10 題），108 第 11 題、112 第 8 題也有。
• 補完 orthonormal basis 並問有幾種選法（110 第 4(a) 題），109 第 4 題也有。