108 中正資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、11 題、100 分。沒有選擇題，答案寫在試卷（答案卷）作答區內，限用藍色或黑色筆（含鉛筆），試題須隨試卷繳還。入場後 40 分鐘內不得離場。卷面沒有倒扣規定。

線性代數考點（1–5，50%）

• 第 1 題（15%）｜change of basis：S 為 R³ 的 standard basis，B = {u₁,u₂,u₃}，u₁ = (1,2,1)^T、u₂ = (2,5,0)^T、u₃ = (3,3,8)^T。(a) 5%：B 到 S 的 transition matrix。(b) 5%：S 到 B 的 transition matrix。(c) 5%：w 相對 S 的座標為 (5,−3,1)^T，求 w 相對 B 的座標
• 第 2 題（10%）｜向量分解：u = (1,1,1)、a = (0,2,−1)。(a) 5%：u 沿 a 的分量。(b) 5%：u 與 a orthogonal 的分量
• 第 3 題（8%）｜least squares 直線：求最符合 (−2,−11)、(0,−2)、(4,2) 三點的 y = ax + b
• 第 4 題（7%）｜給定 eigenvalue λ = 4, 2, 0 與對應 eigenvector v₁ = (1,1,0)^T、v₂ = (0,0,1)^T、v₃ = (−1,1,0)^T，求滿足條件的 3×3 symmetric matrix
• 第 5 題（10%）｜W 是 R³ 中由 w = (1,1,1)^T span 的 subspace，v = (1,0,1)^T。(a) 6%：W⊥ 的 orthonormal basis。(b) 4%：v 在 W⊥ 上的 projection

離散數學考點（6–11，50%）

• 第 6 題（7%）｜集合的 ∈ 與 ⊆ 判斷，共 a–g 七個小題，用到 ∅、{∅}、{{∅}} 與 {∅,{∅}} 這幾個集合
• 第 7 題（8%）｜泥巴小孩謎題：父親對一男一女說「你們之中至少有一人額頭有泥巴」，兩人額頭實際上都有泥巴，之後父親問兩次「你知不知道自己額頭有沒有泥巴」，兩個孩子同時回答 Yes 或 No，問兩次各自的回答。題目設定孩子看得到對方、看不到自己，且都誠實
• 第 8 題（10%）｜取石遊戲：一堆 22 顆石頭，兩人輪流取 1、2、3 或 4 顆，取走最後一顆者獲勝。要求證明先手無論後手怎麼取都能獲勝
• 第 9 題（10%）｜pigeonhole principle：從 {1,3,5,…,23}（12 個奇數）中最少要選幾個數，才能保證至少有三對的和為 24
• 第 10 題（10%）｜recurrence：a_n = 2a_n−1 − a_n−2（n > 1），a₀ = 4、a₁ = 1，求解
• 第 11 題（5%）｜complement graph：simple graph G 有 27 條邊，complement graph Ḡ 有 28 條邊，問 G 有幾個頂點

作答時要注意的地方

1. 全卷沒有選擇題，卷面沒有倒扣規定。
2. 第 7 題要分別寫出兩次提問的回答，第 8 題的題目寫的是「證明」。
3. 第 9 題問的是「至少三對」。

準備方向

• 向量沿某方向的分量與 orthogonal 分量（108 第 2 題），106 第 1 題、111 第 1 題也有。
• 由 eigenvalue 與 eigenvector 求 symmetric matrix（108 第 4 題），115 第 4 題也考這組條件。
• change of basis 與座標（108 第 1 題），110、111、112、114 也有 basis 與座標的題目。
• pigeonhole principle 湊三對和為定值（108 第 9 題），110 第 8 題、112 第 6 題、114 第 6 題也有。
• complement graph 的邊數與頂點數（108 第 11 題），110 第 10 題、112 第 8 題也有。
• 集合的 ∈ 與 ⊆ 判斷、泥巴小孩謎題（108 第 6、7 題），其他年度沒有出現過。