108 中興資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、100 分，不得使用計算機。離散與線代各 50 分。

Part I 離散數學考點（50%）

填空題 ①–⑨，每格 4 分：

• ①②｜分類器的 precision 與 accuracy：10 男 8 女共 18 人，辨識器判定 12 人為男生，其中 9 人真的是男生
• ③｜y₁ + y₂ + 5y₃ = 12，題目給出正整數解有 7 組，問非負整數解的個數
• ④⑤｜用 quantifier 與邏輯符號翻譯「不存在最大的整數」與「每個整數都有唯一的加法反元素」
• ⑥｜Tower of Hanoi 移動次數的 recurrence，初始值 a₁ = 1、a₂ = 3
• ⑦｜盒 1 有 1 紅 2 藍、盒 2 有 2 紅 3 藍，隨機選一顆，已知抽到紅球，問它來自盒 1 的機率
• ⑧⑨｜長度 10 的位元串中，0 比 1 多的個數，以及至少有 3 個 1 的個數

是非題 1–7，每題 2 分，答錯倒扣 1 分：

• 第 1 題｜圖的 incidence matrix 是否為 symmetric matrix
• 第 2 題｜Q 與 Z 的基數是否相同
• 第 3 題｜100 人中是否至少有 9 人同月出生
• 第 4 題｜S = {1, 2, 4} 時，(P(S), ⊆) 是否為 poset
• 第 5 題｜¬p → q 是否邏輯等價於 ¬(q ↔ p)
• 第 6 題｜4 個可區分的球放入 3 個不同的盒子是否有 81 種放法
• 第 7 題｜traveling salesman problem 是否就是找成本最小的 Euler circuit

Part II 線性代數考點（50%）

• 第 1 題（15%）｜判斷五組向量 linearly independent 或 linearly dependent，每小題 3 分：
• 1(a)(b)｜R³ 中各三個向量
• 1(c)｜P₂ 中含零多項式的集合
• 1(d)(e)｜P₂ 中的多項式組
• 第 2 題（20%）｜給一個含分塊結構的矩陣 A：
• 2(a)（5%）｜求 A⁻¹
• 2(b)（5%）｜驗證 A 是否 positive definite
• 2(c)（10%）｜求矩陣 P 使 P⁻¹AP 為 diagonal matrix
• 第 3 題（15%）｜linear transformation T : R² → R³：
• 3(a)（10%）｜求 T 相對於 basis B = {u₁, u₂} 與 B′ = {v₁, v₂, v₃} 的矩陣
• 3(b)（5%）｜用 (a) 求得的矩陣計算 T 對一個指定向量的像，題目明確要求使用 (a) 的矩陣

作答時要注意的地方

1. 是非題答對 +2、答錯 −1，七題共 14 分。
2. 填空 ③ 題目先給了正整數解的組數，再問非負整數解。
3. 第 1 題的向量組分別落在 R³ 與 P₂ 兩種空間。
4. 第 2(b) 禁用計算機，是否 positive definite 要手算判斷。
5. 第 3(b) 明訂要用 (a) 的矩陣。

準備方向

• 是非題 1–7 與 110 年是非題 1–7 是同一組題目，只有第 1 題的措辭略有不同。
• Precision 與 accuracy：108 填空 ①②、111 第 6 題、114 第 6 題、115 第 10 題也有。
• Tower of Hanoi recurrence：108 填空 ⑥、111 計算題第 2 題。
• Bayes' theorem：108 填空 ⑦、111 計算題第 5 題、114 第 5 題也有。
• 位元串計數：108 填空 ⑧⑨、111 第 1 題。
• linearly independent 判斷：108 第 1 題、110 PART II 是非題第 3 題、113 第 11 題、115 第 12 題也有，115 年才擴及矩陣空間與函數空間。