中興資工所考古題解答數學十年大統整（106–115）

各章配分

表中數字是各題的卷面配分，依主題加總。有子題的照子題分，沒有子題的整題算在主要考點。離散與線代分開列，各自依十年合計排序，顏色越深，占當年總分的比例越高。分類器評估指標與進位表示算在離散的 Other。

章／細項	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	合計	占比	年數
Linear Algebra	50	50	50	50	50	50	50	50	60	50	510	51%	10
Inner Product Spaces	15	16		10		14	16	10	35	8	124	12%	8
Orthogonal Projection & Complement	10	10					8	10	18		56	6%	5
Least Squares	5	6				10			5		26	3%	4
Inner Products & Norms						4			10	8	22	2%	3
Gram-Schmidt & QR				10			8		2		20	2%	3
Matrices & Linear Systems	15	10	5	15	22	10	14	10	5	8	114	11%	10
Linear Systems & Row Reduction	5	5		15	14	6	9				54	5%	6
Matrix Algebra & Special Matrices					8	4	4	10	5	8	39	4%	6
Matrix Inverse	10	5	5				1				21	2%	4
Eigenvalues & Diagonalization	10	9	10	14	6	8	9	10		8	84	8%	9
Diagonalization & Similarity	5	6	10		4	2	1	5			33	3%	7
Eigenvalues & Eigenvectors	5	3		7	2	6	8				31	3%	6
Matrix Powers & Functions				7				5			12	1%	2
Jordan Form										8	8	<1%	1
Vector Spaces		5	15	6	8	6	2	10	5	8	65	6%	9
Linear Independence & Span			15	6	6	4		10		8	49	5%	6
Rank & Nullity		5					1		5		11	1%	3
Basis, Dimension & Coordinates					2	2	1				5	<1%	3
Linear Transformations	10		15	5	6	4	8		10		58	6%	7
Linearity, Kernel & Range	10			5	6	4	4		5		34	3%	6
Matrix Representation & Change of Basis			15				4		5		24	2%	3
Determinants		5			2	2	1	10	5	8	33	3%	7
Symmetric & Normal Matrices		5	5		6	4				10	30	3%	5
Positive Definite & Quadratic Forms		5	5		2	2					14	1%	4
Spectral Theorem & Orthogonal Diagonalization						2				10	12	1%	2
SVD & Pseudo-inverse					4						4	<1%	1
Other						2					2	<1%	1
Discrete Mathematics	50	50	50	50	50	50	50	50	40	50	490	49%	10
Graph Theory	18	18	4	15	12	2	8	10		2	89	9%	9
Graph Basics & Isomorphism	6	10	2	15	2	2	2	5			44	4%	8
Trees	4	6			2			5		2	19	2%	5
Coloring & Independent Sets	6				2						8	<1%	2
Euler & Hamilton	2		2		2		2				8	<1%	4
Planar Graphs		2			2						4	<1%	2
Bipartite Graphs & Matching							4				4	<1%	1
Graph Algorithms					2						2	<1%	1
Counting	4	8	16		11	12		10	5	14	80	8%	8
Permutations & Combinations			10		7			5	5	2	29	3%	5
Integer Solutions & Distributions		6	4		2	5		5		2	24	2%	6
Pigeonhole Principle	4	2	2		2	5				8	23	2%	6
Inclusion-Exclusion & Derangements						2				2	4	<1%	2
Sets, Relations & Functions	4	6	4	10	15	16		5	5	8	73	7%	9
Sets	2		2	10	6	9		5			34	3%	6
Functions					5				5	8	18	2%	3
Relations	2	4			2	5					13	1%	4
Partial Orders & Lattices		2	2		2	2					8	<1%	4
Logic & Proofs	16	4	10		6	2	7	5	15	8	73	7%	9
Propositional & Predicate Logic	16	4	10		4	2	2	5	5	8	56	6%	9
Proof Techniques & Induction					2		5		10		17	2%	3
Number Theory	2	8		10	4	6	10	10	5	10	65	6%	9
Modular Arithmetic	2	8		10	2	4		5	5	10	46	5%	8
Divisibility & GCD					2	2	10	5			19	2%	4
Other	6		8		2	2	2	5	5	8	38	4%	8
Recurrences & Generating Functions		6	4			5	13				28	3%	4
Linear Recurrence Relations		6	4			5	3				18	2%	4
Generating Functions							5				5	<1%	1
Other Recurrences							5				5	<1%	1
Algebraic Structures				15							15	2%	1
Groups				15							15	2%	1
Automata & Languages							10	5			15	2%	2
Regular Expressions & Grammars							10	5			15	2%	2
Probability			4			5			5		14	1%	3

八校各章配分比較 →

線代這邊 Inner Product Spaces 合計 124 分最多，Matrices & Linear Systems（114 分）十年每年都有。離散這邊 Graph Theory 合計 89 分最多，Number Theory 十年考九年。

重複出題清單

題目	出現年度
線代是非題附證明或反例（A 為方陣或 m×n，五個敘述，每小題判斷 1 分、理由 4 分）	106 第 1 題、107 第 1 題
planar graph coloring 所需的最少顏色數是否不超過 5	106 是非 (f)、110 PART I 是非第 9 題（同一個敘述）
樹高為 4 時的節點數	106 01(v)（tri-ary tree）、107 1(v)（binary tree）
pigeonhole principle	106 01(iv)（撲克牌）、107 是非 (g)（相加為 7）、108、110 是非第 3 題（100 人同月出生）
圖的 connectivity	106 是非 (d)（K₅,₃ 的 edge connectivity）、107 是非 (j)（K_n 的 vertex cut）
是非題第 1–7 題（incidence matrix、\|Q\| 與 \|Z\|、100 人鴿籠、(P(S), ⊆) partial order、¬p → q 的等價、4 球 3 盒、TSP 與 Euler circuit）	108、110（同一組，只有第 1 題措辭略不同）
分類器的 precision、accuracy、recall	108（填空 ①②）、111（選擇第 6 題）只問 precision 與 accuracy；114 第 6 題加問 recall；115 第 10 題再加 false negative rate、specificity、F1。114 第 6 題與 115 第 10 題的數字相同（15 人、9 男 6 女、判定 10 人、其中 7 人是男生）
Bayes' theorem	108（填空 ⑦，兩個盒子取球）、111（計算第 5 題，檢驗偽陽性）、114 第 5 題（檢驗偽陽性）
哪個 2ⁿ−1 是質數	110 第 5 題、111 第 5 題（選項的指數不完全相同）
logical equivalence 的判斷	110 第 3 題（p → q）、111 第 3 題（¬p → q）、114 第 1 題（p → (¬q ∧ r)）；108、110 是非第 5 題也考 ¬p → q 與 ¬(q ↔ p)；106 是非 (e) 考量詞的否定、107 是非 (c) 考 P → Q 與 ¬P ∨ Q
power set 的 ∈ 與 ⊆	110 第 1 題、111 第 7 題
full m-ary tree 的頂點、內部頂點、葉數	110 第 7 題（m = 3、100 個頂點）、115 第 4 題（3-ary、82 個頂點）
countability 與 cardinality 比較	106 是非 (c)、108、110 是非第 2 題（三題都是 \|Q\| 與 \|Z\|），110 第 8 題、111 第 8 題
Tower of Hanoi 的 recurrence	108（填空 ⑥）、111（計算第 2 題）；107 1(iv) 的 a_n = 2a_n−1 + f(n) 在 f(n) = 1 時同型
bit string 計數	108（填空 ⑧⑨）、111 第 1 題、115 第 2 題
非負整數解個數	107 1(iii)、108（填空 ③）、113 第 5 題、115 第 1 題
子集計數	114 第 3 題、115 第 3 題
function 的 one-to-one 與 onto	114 第 2 題、115 第 7 題（兩題都有 Z × Z⁺ → Q 與 Z × Z⁺ → R 的 a/b）
Euler φ 函數	114 第 4 題、115 第 8 題
congruence 與 modular arithmetic	106 是非 (a)、107 1(i) 與是非 (i)、109 第 7 題、111 第 4、9 題、113 第 9 題、115 第 5 題
R³ 中兩向量張成的 U，求 orthogonal complement 與 projection 或最近點	106 第 2 題、107 第 4 題
orthogonal projection 矩陣 P_W 與 orthogonal decomposition	112 第 6 題、113 第 15 題、114 第 12 題與計算題第 2 題；112 第 6 題與 114 計算題第 2 題的 v = (3, 2, 6)^T 與 W = {(a, b, b)^T} 相同
LU 與 LDU decomposition	109 第 5 題、110 計算題、111 PART II 是非第 9 題
linear independence 判斷	108 第 1 題（R³、P₂）、110 PART II 是非第 3 題（P₂）、113 第 11 題（R⁴）、115 第 12 題（R⁴、P₂，並擴及矩陣與函數空間）
由兩個像決定 linear transformation	110 PART II 選擇第 5 題、112 第 3 題、114 第 8、11 題；112 第 3 題與 114 第 11 題給的兩個像相同
orthogonal matrix 的性質	111 PART II 選擇第 1 題、113 第 14 題、114 第 14 題
least squares	106 第 4 題（y = ax² + b）、107 第 2 題（直線）、111 計算題、114 第 13 題
inner product space 的性質	114 第 9 題、115 第 15 題

優先準備的四個主題

分類器的評估指標。108、111、114、115 四年各有一題，115 年第 10 題把 precision、recall、false negative rate、specificity、F1 五個指標一次全考。confusion matrix 要能完整寫出來，各指標的定義要熟。
數論與 congruence。十年中只有 108 年沒有 congruence 或整數性質的題目，包括 modular arithmetic、質數判斷、Euler φ 函數、Chinese remainder theorem、郵票問題與 Caesar cipher，十年都禁用計算機。
orthogonal projection 與 orthogonal decomposition。106 第 2 題、107 第 4 題都是 R³ 中兩向量張成的 subspace 求 orthogonal complement 與 projection，112、113、114 三年連續考，115 年第 15 題也考 inner product space 中 projection 所需的條件。
判斷敘述真假。106、107、108、110、111、112 是是非題（106、107 的線代是非題還要附證明或反例），114 是單選題找出錯誤的敘述（第 7、9、14、15、16 題），115 是多重選擇題找出錯誤的敘述（第 6、13 題）。114、115 年出現的主題有：

determinant 與 trace 的性質
inner product 與 norm 的性質
矩陣的對稱性與可逆性
four fundamental subspaces 與 orthogonal complement
orthogonal matrix 的性質
projection 所需的 basis 條件

題型演變

年度	頁數	題數	卷面結構	特色
106	2	19	離散計算 5 小題＋是非 8 題＋量詞翻譯 2 小題，線代 4 大題	線代第 1 題判斷真假還要附證明或反例
107	2	19	離散計算 5 小題＋是非 10 題，線代 4 大題	線代第 1 題與 106 同一種格式，第 4 題與 106 第 2 題同型
108	2	19	離散填空 9 格＋是非 7 題，線代 3 大題	分類器 precision 與 accuracy 第一次出現
109	2	10	全申論	微分方程組、minimum dominating set、質數階群的 subgroup
110	2	38	兩個 PART 各有選擇、是非、計算	兩個 PART 各 10 題是非題；PART I 是非 1–7 與 108 年同一組
111	2	32	離散選擇 10 題＋計算 6 題，線代是非 10 題＋選擇 5 題＋計算 1 題	結構與 110 年接近，離散部分沒有是非題
112	3	12	線代 1–6、離散 7–12，寫在答案卷	郵票湊錢問題、grammar
113	2	15	全申論，離散 1–10 各 5 分、線代 11–15 各 10 分	Kleene's theorem、sieve of Eratosthenes、Caesar cipher
114	5	18	單選 16 題各 5 分、計算 2 題各 10 分	線代 10 題單選中有 5 題問找出錯誤的敘述
115	5	16	單選 5 題、多選 10 題各 8 分、計算 1 題	80 分是階梯給分的多選；計算題考 covariance matrix 的 whitening 矩陣

中興的題型在選擇和申論之間來回，看不出規律。不要假設 116 年會延續 115 年的格式，兩種形式都要練。

計分規則逐年對照

年度	計分方式
106	計算與量詞翻譯卷面無倒扣標示；離散是非題每題 2 分、答錯倒扣 1 分；線代是非題每小題判斷 1 分、證明或反例 4 分，卷面無倒扣標示
107	計算卷面無倒扣標示；離散是非題答對 +2、答錯 −1；線代是非題每小題判斷 1 分、理由或反例 4 分，卷面無倒扣標示
108	填空卷面無倒扣標示；是非題答對 +2、答錯 −1
109	全部申論，卷面沒有計分規則的標示
110	選擇題卷面無倒扣標示；兩個 PART 各 10 題是非題，答對 +2、答錯 −1（共 40 分）
111	PART I 卷面無倒扣標示；PART II 是非題答對 +2、答錯 −1
112	寫在答案卷；第 1、12 題是是非小題，第 8 題是選出正確的敘述，卷面沒有倒扣標示
113	全部申論，卷面沒有計分規則的標示
114	單選 16 題各 5 分，卷面無倒扣標示；計算題 20 分
115	單選 10 分卷面無倒扣標示；多選 80 分採階梯給分

有兩種特殊規則要分清楚。

是非題倒扣（106、107、108、110、111）：答對 +2、答錯 −1。亂猜的期望值是 +0.5 分，只要不是完全沒概念就該填。

多重選擇的階梯給分（115）：全對 8 分，錯 1 個選項 4.8 分，錯 2 個選項 1.6 分，錯 3 個以上或未作答 0 分。不會扣到負分，但部分答對的代價很高，要嘛全對，要嘛最多錯一個。

給 116 年考生的準備方向

先確認自己報的是甲組。乙組考的是基礎數學 B 與資訊系統，科目不同，本站只做甲組。
題型常變，主題變得少。十年來形式在選擇和申論之間來回，主題卻很穩定：數論、計數、graph theory、複雜度、矩陣、orthogonal projection、分類器指標。練內容比練形式重要。
是非題答錯倒扣 1 分的年度不要空白，答對 +2、答錯 −1，期望值是正的。
階梯給分的多選要逐個選項確認，錯一個掉四成，錯兩個只剩兩成。
106、107 的線代第 1 題是判斷真假再附證明或反例，判斷只佔 1 分、理由或反例佔 4 分，只寫 T 或 F 拿不到多少分。
108 與 110 的是非題 1–7 是同一組題目，110 與 111 的選擇題也有多題同型（2ⁿ−1 質數、p → q 等價、power set、countability），三份並排練最划算。
formal language 出現在 112 與 113 年，112 年是 grammar，113 年是 Kleene's theorem。
115 年計算題考 covariance matrix 的 whitening 矩陣，要先熟悉 covariance matrix 的性質和矩陣分解。
十年都禁用計算機，練習時不要開計算機。

本頁的題型、配分、計分規則都取自各年度試卷上的標示，各章配分與重複題是逐題整理的。如果發現有誤，歡迎來信指正。

中興資工所考古題詳解數學十年大統整（106–115）