中興資工所數學考古題八年大統整（108–115）
計分規則逐年對照
| 年度 | 計分方式 |
|---|---|
| 108 | 填空不倒扣；是非題答對 +2、答錯 −1 |
| 109 | 全部申論，無倒扣 |
| 110 | 選擇題不倒扣；兩個 PART 各 10 題是非題，答對 +2、答錯 −1（共 40 分） |
| 111 | PART I 不倒扣；PART II 是非題答對 +2、答錯 −1 |
| 112 | 全部申論、寫在答案卷，無倒扣 |
| 113 | 全部申論、寫在答案卷，無倒扣 |
| 114 | 單選 16 題各 5 分，不倒扣；計算題 20 分 |
| 115 | 單選 10 分不倒扣；多選 80 分採階梯給分 |
兩種特殊規則要分清楚：
是非題倒扣（108、110、111）：答對 +2、答錯 −1。亂猜的期望值是 +0.5 分——只要不是完全沒概念就該填。這與中央「每選項 −1」的嚴苛設計完全不同。
多重選擇的階梯給分（115）：全對 8 分｜錯 1 個選項 4.8 分｜錯 2 個選項 1.6 分｜錯 3 個以上或未作答 0 分。不會扣到負分，但「部分答對」的代價極高——要嘛全對、要嘛最多錯一個。
題型演變：八年反覆震盪
| 年度 | 形式 | 題數 | 特色 |
|---|---|---|---|
| 108 | 填空 + 是非 + 申論 | — | 9 格填空各 4 分；分類器 precision/accuracy 首度出現 |
| 109 | 全申論 | 10 | 考微分方程組、最小支配集、群論的 Lagrange 定理 |
| 110 | 選擇 + 是非 + 計算 | 37 | 兩個 PART 各 10 題是非題；是非 1–7 與 108 年一字不差 |
| 111 | 選擇 + 是非 + 計算 | 32 | PART I 離散 50、PART II 線代 50，結構與 110 幾乎相同 |
| 112 | 全申論 | 12 | 科目改名；郵票湊錢問題、形式文法 |
| 113 | 全申論 | 15 | 前 10 題各 5 分快問快答；Kleene 定理、Eratosthenes 篩法 |
| 114 | 單選 16 題各 5 分 | 18 | 單題權重八所最高；正交投影出現三次 |
| 115 | 多選 10 題各 8 分（階梯給分） | 16 | 80 分全壓在多選；計算題考 PCA 白化矩陣 |
結論：中興的題型「選擇 → 申論 → 選擇」來回擺盪，沒有任何規律。 不要假設 116 年會延續 115 年的格式——申論與選擇兩種形式都要練。
重複出題清單
| 題目 | 出現年度 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| **是非題第 1–7 題（關聯矩陣、 | Q | = | Z | 、100 人鴿籠、(P(S),⊆) 偏序、¬p→q 等價、4 球 3 盒、TSP vs Euler）** | 108、110（一字不差） |
| 分類器的 precision／recall／accuracy | 108（填空 ①②）、111（選擇第 6 題）、114 第 6 題、115 第 10 題 | ||||
| 貝氏定理（醫學檢驗偽陽性） | 108（填空 ⑦）、111（計算第 5 題）、114 第 5 題 | ||||
| 哪個 2n−1 是質數 | 110 第 5 題、111 第 5 題 | ||||
| 與 p → q 等價的命題 | 110 第 3 題、111 第 3 題、114 第 1 題 | ||||
| 冪集合的 ∈ 與 ⊆ | 110 第 1 題、111 第 7 題 | ||||
| 滿 m 元樹的頂點／內部節點／葉數公式 | 110 第 7 題、115 第 4 題 | ||||
| 可數性判斷 | 110 第 8 題、111 第 8 題 | ||||
| 河內塔的遞迴式 | 108（填空 ⑥）、111（計算第 2 題） | ||||
| 同餘與模運算（費馬小定理、中國剩餘定理） | 109 第 7 題（4332 mod 11）、111 第 9 題、113 第 9 題、115 第 5 題 | ||||
| 正交投影矩陣 P_W 與正交分解 | 112 第 6 題、113 第 15 題、114 第 12 題與計算題 | ||||
| LU／LDU 分解 | 109 第 5 題、110 計算題、111 是非第 9 題 | ||||
| 線性獨立判斷（跨多項式／矩陣／函數空間） | 108 第 1 題、113 第 11 題、115 第 12 題 | ||||
| 由兩個像決定線性變換的標準矩陣 | 112 第 3 題、114 第 8、11 題 | ||||
| 正交矩陣的性質 | 111 選擇第 1 題、113 第 14 題、114 第 14 題 |
主題出現年度一覽
| 主題 | 出現年度 |
|---|---|
| 命題邏輯與量詞 | 108、110、111、112、114、115 |
| 集合、關係、函數計數 | 108、110、111、113、114、115 |
| 數論（同餘、費馬小定理、φ 函數、RSA） | 108、109、110、111、113、114、115 |
| 密碼學與 Euler φ 函數（凱撒密碼、RSA 式的 φ(n) 反推） | 113、114、115 |
| 遞迴與生成函數 | 108、111、112、114、115 |
| 演算法複雜度（Master Theorem、巢狀迴圈計數） | 112、113 |
| 圖論（Euler、平面圖、樹、支配集） | 109、110、112、113、114、115 |
| 機率與統計 | 108、111、114、115 |
| 機器學習指標（precision／recall／PCA／梯度） | 108、111、114、115 |
| 形式語言與自動機（文法、Kleene、DFA） | 112、113、114 |
| 矩陣運算、行列式、LU 分解 | 108、109、110、111、112、113、115 |
| 特徵值、對角化、高次冪 | 108、110、112、113、115 |
| 正交性、Gram-Schmidt、投影 | 109、112、113、114、115 |
| 線性變換與基底變換 | 108、110、112、114 |
| 內積空間的公設 | 114、115 |
| 群論 | 109（唯一一次） |
必守的四個主題
1. 分類器的評估指標（108、111、114、115 四年）
這是中興獨有的考點——其他七校的數學考科完全不考，但中興四年出現五次。混淆矩陣要能完整寫出：
precision = TP/(TP+FP)｜recall = TP/(TP+FN)｜accuracy = (TP+TN)/總數｜specificity = TN/(TN+FP)｜F1 = 2·P·R/(P+R)
115 年第 10 題把五個指標一次全考，是最完整的一題。
2. 禁用計算器下的大數運算（幾乎每年）
三個必備工具：
- 費馬小定理：p 為質數且 p ∤ a ⇒ ap−1 ≡ 1 (mod p)（109 的 4332 mod 11）
- 先化簡底數：43 ≡ −1 (mod 11)，所以 4332 ≡ 1
- 中國剩餘定理：115 第 5 題先解 mod 105 再問 mod 11，兩段都要對
3. 正交投影與正交分解（112、113、114 三年連續）
標準流程：解出 W 的基底 → P_W = A(ATA)−1AT → 投影向量 = P_W v → 正交分量 z = v − P_W v。 112 年第 6 題、113 年第 15 題、114 年第 12 題與計算題都是這一套。
4. 「找出錯誤敘述」的判斷題（110、112、114、115）
中興特別愛考「以下哪個不正確」，要把課本定理的常見誤述整理成清單：
- det(cA) = cn·det(A)（不是 c·det(A)）
- tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB)，但 tr(ABC) ≠ tr(ACB)
- A、B 對稱 ⇏ AB 對稱
- 可對角化 ⇏ 有 n 個相異特徵值
- (Col A)⊥ = Null(AT)（不是 Null(A)）
- 正交矩陣必可逆且 QT = Q−1
- Cauchy-Schwarz 是 |u·v| ≤ ‖u‖‖v‖（不等式，不是等式）
- Euler circuit 要「連通 且 所有度數為偶」（只有偶度數不夠）
- 求投影必須用正交基底（任意基底不行）
給 116 年考生的策略
- 先確認自己報的是甲組。 中興甲、乙兩組的卷子完全不同（科目名稱、題數、計分方式都不一樣），本站只做甲組。
- 題型會變，內容不太變。 八年來形式在選擇與申論間來回擺盪，但考的主題高度穩定：數論、遞迴、圖論、複雜度、矩陣、正交投影、分類器指標。練內容比練形式重要。
- 看到「答錯倒扣 1 分」的是非題不要空白——答對 +2、答錯 −1，期望值為正。
- 看到「階梯給分」的多選要逐選項確認——錯一個掉四成、錯兩個只剩兩成。
- 108 與 110 的是非題一字不差、110 與 111 的選擇題大量重複，把這三份並排練是投報率最高的做法。
- 形式語言與自動機（Kleene 定理、文法、DFA）是中興獨有，其他七校的數學科都不考，但中興 112、113、114 三年都有。
- 115 年的計算題考 PCA 白化矩陣，中興開始把機器學習寫進線代。Σ 的特徵分解、半正定、Σ−1/2 = QΛ−1/2QT 這條線要練熟。
- 八年都禁用計算器，練習時不要開計算機。
本頁的題型、配分、計分規則均直接取自各年度試卷標示；主題出現年度與重複題比對為逐題整理。若發現有誤，歡迎來信指正。