115 中興資工所數學考點分析

題型與配分

系所「資訊工程學系甲組」，科目：離散數學與線性代數，本科目試題共 5 頁、16 題、100 分，「不可以」使用計算機。

多重選擇的階梯給分：每題五個選項、至少有一個正確。

全部答對 8 分｜答錯 1 個選項 4.8 分｜答錯 2 個選項 1.6 分｜答錯 3 個以上或未作答 0 分

也就是說錯一個就掉四成、錯兩個只剩兩成。不會扣到負分，但 80 分全壓在這個規則下，是中興八年來風險最集中的一份。

逐題考點

單選題（1–5，各 2%）

• 第 1 題｜帶多重限制的整數解：x₁+x₂+x₃+x₄ = 12，其中 x₁ 為偶數、2 ≤ x₂ ≤ 4、x₃ 是 3 的倍數、0 ≤ x₄ ≤ 3。用生成函數 1/(1−x²) × (x²+x³+x⁴) × 1/(1−x³) × (1+x+x²+x³) 取 x¹² 的係數
• 第 2 題｜排容原理：長度 10 的位元串中，「至少四個 1」或「以 01 結尾」的個數
• 第 3 題｜排容原理（子集）：8 元素集合 S、固定元素 e，求「元素個數為奇數」或「包含 e」的子集數 → 2⁷ + 2⁷ − 2⁶ = 192
• 第 4 題｜滿 3 元樹：T 有 82 個頂點，求葉數 → i = (n−1)/m = 27、l = n − i = 55
• 第 5 題｜中國剩餘定理：x ≡ 2 (mod 3)、x ≡ 4 (mod 5)、x ≡ 6 (mod 7)，先求 mod 105 的唯一解，再問 x mod 11

多重選擇題（6–15，各 8%，階梯給分）

• 第 6 題｜述詞邏輯翻譯的正誤判斷：P(x)「x 放對位置」、C(x)「x 狀況良好」，判斷五個「邏輯式 ↔ 英文句子」的對應哪些是錯的。(D) 的 ∀x(C(x) → P(x)) 被翻成「所有放錯位置的工具狀況都良好」是錯的（應為「所有狀況良好的工具都放對位置」）
• 第 7 題｜滿射判斷：f : Z→Z 的 n+1（是）、f : N→N 的 n+1（否，0 沒有原像）、f : Z×Z⁺→Q 的 a/b（是）、f : Z×Z⁺→R 的 a/b（否）、f : Q→R 的 x（否）
• 第 8 題｜Euler φ 函數：n = 2³·3²·7，判斷 φ(n) 的各種表達式。正確的是 φ(n) = 2²·3·6 = 72，用 φ(p^k) = p^k−1(p−1)。(D) 「φ(n) 被 12 整除」→ 72/12 = 6
• 第 9 題｜鴿籠原理與機率：10 題五選一的測驗，答案卡共 5¹⁰ 種
• (A)(B) 兩張答案卡相同／不同的機率
• (C)(D) 要保證有三張相同，最少需要 2·5¹⁰ + 1 人（不是 6¹⁰）
• (E) 保證四張相同 → 3·5¹⁰ + 1
• 第 10 題｜分類器評估指標：15 人（9 男 6 女），判 10 人為男其中 7 人正確。precision = 7/10、recall = 7/9、false negative rate = 2/9、specificity = 3/6、F1 = 2·(7/10)(7/9)/((7/10)+(7/9))
• 第 11 題｜行列式與 Cramer 法則：沿第一列展開的正負號、det(A) = 0 時解不唯一（題目寫成「有唯一解」是錯的）、R₂ → R₂ + cR₁ 不改變行列式（真）、Cramer 法則要 rank = n、rank(A) = 2 時 rank([A|b]) 未必是 2
• 第 12 題｜線性獨立判斷（跨四種空間）：R⁴ 的向量組、P₂ 中的 {3, x−2, x²−2x+1}、M_2x2 中的矩陣組、C[0,2π] 中的 {sin x, cos x, sin 2x}、C(R) 中的 {x, |x|, x|x|}
• 第 13 題｜矩陣性質，找出 FALSE 的：u^Tv = v^Tu（真）、S 斜對稱 ⇒ x^TSx = 0（真）、A、B 對稱 ⇒ AB 對稱（假）、AB 可逆 ⇒ A、B 皆可逆（真）、A 對稱且可逆 ⇒ A⁻¹ 不對稱（假，A⁻¹ 仍對稱）
• 第 14 題｜Jordan 型與特徵空間：給 3×3 矩陣 A（特徵值 −2 與 4），判斷 ker(T + 2I) 的維度、range(T − 4I) 的維度、A 是否可對角化、相似矩陣中 −2 對應的 Jordan 塊個數、4 的特徵空間是否為二維平面
• 第 15 題｜內積空間的性質：‖u‖ = 0 ⇒ u 不一定是零向量（假）、夾角由 cos θ 唯一決定（真）、單位正交基底下 v = Σ⟨v,e_i⟩e_i（真）、「用任意基底做內積就能求投影」（假——必須是正交基底）、正交 ⇒ 長度相等（假）

計算題（10%，寫在答案卷）

• PCA 白化（whitening）：X 是零均值的三維隨機向量、共變異數矩陣為 Σ
• (a) 2%：證明 Σ 是 Hermitian 矩陣並驗證它滿足共變異數矩陣的性質（對稱、半正定）
• (b) 8%：求白化矩陣 W 使 Y = WX 的共變異數為單位矩陣 → W = Σ^−1/2 = QΛ^−1/2Q^T

這份考卷的難點

1. 80 分全壓在階梯給分的多重選擇上。以第 12 題「跨四種向量空間的線性獨立」為例，五個選項分別在 R⁴、P₂、M_2x2、C[0,2π]、C(R) 中——每個空間的判準都不一樣，錯兩個就只剩 1.6 分。
2. 第 14 題考 Jordan 標準型，這在八所的數學考科裡極為罕見。(D) 問「相似矩陣中特徵值 −2 只能有一個 Jordan 塊」，要判斷幾何重數與代數重數的關係。
3. 第 15(D) 的投影陷阱：「用該子空間的任意基底做內積就能求投影」是錯的——必須是正交基底，否則要先做 Gram-Schmidt 或解正規方程。
4. 計算題的 PCA 白化要能寫出 W = Σ^−1/2，並說明如何用特徵分解 Σ = QΛQ^T 得到 Σ^−1/2 = QΛ^−1/2Q^T。這是把線代與機器學習接起來的題目。

準備建議

• 115 年是中興的轉向年：80% 壓在階梯給分的多選，題目也從「會算」轉向「懂概念與幾何意義」。若 116 年延續，練習時要能講出每個定理錯在哪裡
• 階梯給分意味著「全對」的價值極高：錯 1 個掉 3.2 分、錯 2 個掉 6.4 分。多選題要逐選項確認，寧可多花時間也不要憑感覺勾
• precision／recall／F1／specificity 四個指標（第 10 題）要能完整推導混淆矩陣，這在 108、111、114、115 四年都考過
• 計算題的 PCA 白化顯示中興開始把機器學習寫進線代，Σ 的特徵分解、半正定、Σ^−1/2 這條線要練熟
• 中興八年的題型反覆震盪（選擇 → 申論 → 選擇），不要假設 116 年會延續 115 年的格式，兩種都要準備