115 中興資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 5 頁、16 題、100 分，簡章規定不可使用計算機。單選題與多重選擇題畫在答案卡，計算題寫在答案卷，卷面註明未依規定作答不予計分。

多重選擇題每題有 5 個選項，至少有一個是正確的。計分方式：

單選題考點（1–5，各 2%）

• 第 1 題｜x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 12 的非負整數解個數，限制是 x₁ 為偶數、2 ≤ x₂ ≤ 4、x₃ 是 3 的倍數、0 ≤ x₄ ≤ 3
• 第 2 題｜長度 10 的位元串，至少有四個 1 或以 01 結尾的個數
• 第 3 題｜8 個元素的集合 S 與固定元素 e，元素個數為奇數或包含 e 的子集個數
• 第 4 題｜full 3-ary tree 共有 82 個頂點，求葉數
• 第 5 題｜x ≡ 2 (mod 3)、x ≡ 4 (mod 5)、x ≡ 6 (mod 7)，求 x 在模 105 下的唯一解，並問 x mod 11 的值

多重選擇題考點（6–15，各 8%）

• 第 6 題｜P(x) 代表「x 放在對的位置」、C(x) 代表「x 狀況良好」，判斷五個邏輯式與英文句子的對應哪些是錯的
• 第 7 題｜判斷五個函數哪些是映成：Z → Z、N → N、Z × Z⁺ → Q、Z × Z⁺ → R、Q → R
• 第 8 題｜n = 2³ · 3² · 7，判斷關於 Euler φ(n) 的各項敘述哪些為真
• 第 9 題｜10 題、每題 5 個選項的測驗，判斷兩張答案卷相同或不同的機率，以及保證出現 k 張相同答案卷所需的人數
• 第 10 題｜15 人（9 男 6 女），辨識器判定 10 人為男生，其中 7 人真的是男生，判斷 precision、recall、false negative rate、specificity、F1-score 的敘述
• 第 11 題｜3×3 矩陣 A：沿第一列展開 determinant、det(A) 與 Ax = b 解的關係、row operation R₂ ← R₂ + cR₁ 對 determinant 的影響、Cramer's Rule 的適用條件、rank(A) 與 rank([A | b]) 的關係
• 第 12 題｜判斷五組集合哪些 linearly independent：R⁴ 的向量組、P₂ 中的 {3, x − 2, x² − 2x + 1}、M_2x2 中的矩陣組、C[0, 2π] 中的 {sin x, cos x, sin 2x}、C(R) 中的 {x, |x|, x|x|}
• 第 13 題｜矩陣性質，找出錯誤的：u^Tv 與 v^Tu、skew-symmetric matrix 的 quadratic form、symmetric matrix 的乘積、乘積可逆與各因子可逆、symmetric 且可逆矩陣的 inverse
• 第 14 題｜linear transformation T : R³ → R³ 在 standard basis 下的矩陣為 A，判斷 T + 2I 的 kernel、T − 4I 的 range、A 是否與 diagonal matrix similar、eigenvalue −2 的 Jordan block 個數、eigenvalue 4 的 eigenspace
• 第 15 題｜inner product space 的性質：norm 為零、兩向量夾角、orthonormal basis 的展開式、projection 與 basis 的關係、orthogonal 與長度

計算題考點（10%，寫在答案卷）

• 第 1 題｜X ∈ R³ 是零均值的隨機向量，三個感測通道相關，covariance matrix 為 Σ，要建構 linear transformation W 使 Y = WX whitening：
• 1(a)（2%）｜證明 Σ 是 Hermitian matrix，並驗證它滿足 covariance matrix 的性質
• 1(b)（8%）｜求 whitening matrix W

作答時要注意的地方

1. 簡章規定不可使用計算機，卷首另附考生注意事項一頁。
2. 多重選擇題 80 分全部適用階梯給分，沒有選項可以只對一半。
3. 第 6、13 題問的是錯誤的敘述，第 9、10、11、14、15 題問的是正確的敘述。
4. 第 5 題最後問的是 x mod 11，不是方程組的解本身。
5. 計算題只能寫在答案卷。

準備方向

• 非負整數解與限制條件：115 第 1 題，108 填空 ③、113 第 5 題也有。
• inclusion-exclusion 與子集計數：115 第 2、3 題，114 第 3 題也有。
• full m-ary tree：115 第 4 題，110 第 7 題也有。
• Chinese remainder theorem：115 第 5 題，113 軟體 B-1 第 5 題也有 congruence equation 組。
• 函數的映成：115 第 7 題，114 第 2 題也有。
• Euler φ 函數：115 第 8 題，114 第 4 題也有。
• Precision、recall、F1 等指標：115 第 10 題，108 填空 ①②、111 第 6 題、114 第 6 題也有。
• linearly independent 判斷：115 第 12 題，108 第 1 題、113 第 11 題也有。
• Jordan block 與 eigenspace：115 第 14 題。
• inner product space 的性質：115 第 15 題，114 第 9 題也有。
• covariance matrix 與 whitening：115 計算題。