109 中興資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、10 題、100 分，不得使用計算機。全部是申論題，沒有選擇題，卷面沒有計分規則的標示。

逐題考點

• 第 1 題（7%）｜n×n 矩陣 A，題目要求 derive characteristic polynomial
• 第 2 題（10%）｜W 是 R⁴ 中滿足 2x₁ − x₃ + 4x₄ = 0 的向量所成 subspace，求 W 的 orthonormal basis
• 第 3 題（7%）｜dx/dt = 3x − 4y、dy/dt = 2x − 3y，初始條件 x(0) = 1、y(0) = 0，解微分方程組
• 第 4 題（5%）｜T 把 (2, 5, 0) 送到 (5, 0, 2)，把 (−5, 2, 0) 送到 (2, −5, 0)，說明 R³ 到 R³ 是否存在這樣的 orthogonal transformation
• 第 5 題（15%）｜給一個 4×5 矩陣 A，求 RREF 與 rank、LU 分解、null space
• 第 6 題（6%）｜A = [[0, 1], [2, 3]]，說明矩陣 [[5, 3], [6, 14]] 是 A 與 I₂ 的 linear combination
• 第 7 題（10%）｜求 4⁵³² mod 11
• 第 8 題（10%）｜A = {7, 8, 9}，列出 A 的所有子集
• 第 9 題（15%）｜找出給定圖的最小 dominating set
• 第 10 題（15%）｜group G 的 order |G| = p，p 為質數，問 G 的 subgroup 可以有幾種不同的大小

作答時要注意的地方

1. 全部題目都要寫出過程，沒有選項可以猜。
2. 第 1 題用的是 derive，要寫出推導。
3. 第 5 題 (a)(b)(c) 三小題共 15 分。
4. 第 6 題原卷把 [[5, 3], [6, 14]] 寫成 A²，與 A 實際的平方不同。
5. 第 9 題給的是一張圖，要找出最小的 dominating set。

準備方向

• subspace 的 orthogonal basis 與 Gram-Schmidt（109 第 2 題），112 第 5 題、114 計算題第 2 題也有。
• 矩陣的 diagonalization 求解微分方程組（109 第 3 題）。
• RREF、LU 分解與 null space（109 第 5 題），110 計算題的 LDU 分解、111 PART II 是非題第 9 題也有 LU。
• 大數模運算（109 第 7 題），111 PART I 第 9 題、113 第 9 題、115 第 5 題也有 congruence。
• 子集列舉與 power set（109 第 8 題），110 PART I 第 1 題、111 PART I 第 7 題也有。
• 圖的 dominating set（109 第 9 題），110 有 planar graph 與 minimum spanning tree。
• group theory 只有 109 第 10 題出現過。