109 中央資工所數學考點分析

題型與配分

所別「資工類」，科目：離散數學與線性代數，全卷 5 頁、50 題、100 分，禁用計算器。

這是中央十年來結構最特別的一年：用 30 個 1 分的是非題把線性代數的基本性質掃過一遍，而且答錯倒扣 1 分（等於猜測的期望值為 0）。

但第三部分的離散單選題明訂不倒扣，這 50 分一定要全部作答。

線性代數是非題考點（1–30）

矩陣運算（1–10）

AB = BA（假）、AB = AC ⟹ B = C（假）、AB = 0 ⟹ A = 0 或 B = 0（假）、(A−B)^T = A^T−B^T（真）、(rA)⁻¹ = r⁻¹A⁻¹、det(A+B) = detA + detB（假）、det(AB) = detA·detB（真）、det(AB) = det(BA)（真）、det(rA) = rⁿdetA（不是 r·detA）、det(A⁻¹) 的值

解集合與子空間（11–15）

Ax = b 的解集合在 b ≠ 0 時是否可能是子空間（否）、b = 0 時是否恰為子空間（是）—— 五題其實在測同一個觀念的不同表述

相似矩陣（16–20）

A 相似於 B 時：det 相同（真）、A² 相似於 B²（真）、A^T 相似於 B^T（真）、A⁻¹ 相似於 B⁻¹（真）、AB 是否相似於 BA

可對角化（21–25）

是否有 n 個相異特徵值（假）、是否有 n 個線性獨立的行（假）、A^T 與 A⁻¹ 是否也可對角化、是否沒有零特徵值（假）、是否有 n 個線性獨立的特徵空間

正交性（26–30）

Nul A 是否為 Row A 的正交補（真）、W⊥ 是否恆為子空間（真）、(W⊥)⊥ = W（有限維時真）、正交向量經 A 映射後是否仍正交（假）、W ⊕ W⊥ = Rⁿ（真）

離散數學考點（41–50，各 5%，不倒扣）

• 第 41 題｜四人中恰有一人說謊的推理謎題，問誰做的（邏輯推理）
• 第 42 題｜哪個敘述最不恰當：N↔Z、Z↔Q、Q↔R（不存在雙射）、N↔Q、2^Z↔N 的雙射是否存在
• 第 43 題｜3³⁰² 對 5、7、11、385 的模餘（與 108 年第 3 題同一個底數）
• 第 44 題｜給關係矩陣判斷其性質（反對稱？等價關係？）
• 第 45 題｜兩個無向圖同構的必要條件有哪些（頂點數、邊數、度數序列相同是否充分）
• 第 46–50 題｜其他離散判斷題

這份考卷的難點

1. 30 個是非題各 1 分且答錯倒扣 1 分，等於猜測完全沒有期望值。而且題目密集掃過線代所有基本性質，任何一個觀念不清楚就會失分。
2. 第 11–15 題是同一觀念的五種表述（Ax = b 的解集合何時是子空間），要能辨認出它們其實在問同一件事，並保持答案一致。
3. 第 42 題的 Q ↔ R：有理數可數、實數不可數，不存在雙射 —— 這是對角線論證的核心結論。
4. 第 9 題的 det(rA) = rⁿ·det(A)（n 為階數），很多人會誤寫成 r·det(A)。

準備建議

• 109 年的 30 個是非題是最好的線代複習清單，建議逐題確認，等於把 Lay 課本的性質掃過一遍
• 離散單選題（41–50）明訂不倒扣，這 50 分務必全部作答
• 基數與雙射（109 第 42 題）是中央連年考的主題（106、107、109、110 都有）
• 3³⁰² mod p 在 108、109 連兩年出現，費馬小定理要熟