110 中興資工所數學考點分析

題型與配分

系所「資訊科學與工程學系 甲組」，科目：基礎數學 A，本科目試題共 2 頁、100 分，不得使用計算機。

兩個 PART 各有 10 題是非題、各 20 分、都是「答錯倒扣 1 分」，全卷共 40 分落在倒扣規則下。不過答對 +2、答錯 −1，亂猜的期望值仍是 +0.5 分，比中央「每選項 −1」友善得多。

PART I 的是非題第 1–7 題與 108 年完全相同（連文字都沒改），是中興最明顯的重複出題。

PART I：離散數學（50%）

選擇題（1–10，各 2%）

• 第 1 題｜冪集合：A = {a,b,c}、B = P(A)，判斷 ∅ ⊆ B、∅ ∈ B、A ∈ B、A ⊆ B 哪個正確
• 第 2 題｜等價類：a 與 b 等價時，[a] = [b]（真）、aRb、bRa、[a] ∩ [b] ≠ ∅
• 第 3 題｜與 p → q 等價的命題：¬q → ¬p（逆否，真）、¬p ∨ q（真）、¬(q ∧ p)、¬p ∨ q
• 第 4 題｜哪個數是 Z₁₃ 的原根（primitive root）：要驗算 2、3、5、7 的乘法階是否為 12
• 第 5 題｜哪個是質數：2⁶−1 = 63、2⁷−1 = 127（質數）、2⁸−1 = 255、2⁹−1 = 511
• 第 6 題｜後序（postfix）表達式求值：7 2 3 * - 4 ^ 9 3 / +（^ 為次方）
• 第 7 題｜滿 m 元樹：m = 3、n = 100 時，邊數 = n−1 = 99、內部頂點 i = (n−1)/m = 33、葉數 l = (m−1)i+1 = 67
• 第 8 題｜哪個集合可數：(0,1) 不可數、Z⁺ 可數、{N, Z, Q} 是三元素集合（有限）、P(N) 不可數
• 第 9 題｜哪個敘述足以用數學歸納法證明 P(n) 對所有正整數成立：(b) P(1) ∧ ∀k>1(P(k) → P(k+1))（一般歸納）與 (c) 強歸納都可以
• 第 10 題｜哪個圖是平面圖：K₄（是）、Q₃（是）、K₃,₃（否）、W₄（是）

是非題（1–10，各 2%，答錯倒扣 1 分）

第 1–7 題與 108 年完全相同（關聯矩陣是否對稱、|Q| = |Z|、100 人的鴿籠、(P(S), ⊆) 是偏序集、¬p → q 的等價、4 球放 3 盒、TSP 與 Euler circuit），新增的三題是：

1. 小於 100000 且各位數字和為 12 的正整數有 1250 個——用重複組合配排容原理驗算
2. 平面圖著色所需的最少顏色數不超過 5（真但不緊——四色定理說是 4，所以「不超過 5」也成立）
3. 「簡單加權圖連通 若且唯若 它有最小生成樹」（真）

計算題（1–2，各 5%）

• 第 1 題｜{1,2,3,4,5,6} 的排列中，字典序下 326541 的下一個排列是什麼
• 第 2 題｜從 5 元素集合到 7 元素集合的一對一函數有幾個 → P(7,5) = 7×6×5×4×3 = 2520

PART II：線性代數（50%）

是非題（1–10，各 2%，答錯倒扣 1 分）

1. B − B^T 是斜對稱矩陣（真）
2. 一個 3×3 行列式的值判斷
3. 兩個多項式在 P₂ 中是否線性獨立
4. (1,6,4)、(2,4,−1)、(−1,2,5) 是否為 R³ 的基底（算行列式是否為 0）
5. R² 旋轉 π/4 的 T，rank = 2、nullity = 1（假，R² 上 nullity 應為 0）
6. 相似矩陣的行列式相同（真）
7. 某矩陣是否可對角化
8. tr(ABC) = tr(ACB)（假——跡只在循環置換下不變，tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB)，但交換 B、C 不保證相等）
9. n×n 矩陣的特徵值重數總和等於 n（真，在複數域上）
10. 某矩陣是否不是正定

選擇題（1–5，各 4%）

• 第 1 題｜哪些是基本矩陣（elementary matrix）
• 第 2 題｜哪些是 A、B 的線性組合
• 第 3 題｜哪些是 Hermitian 矩陣
• 第 4 題｜哪些是給定矩陣的特徵向量
• 第 5 題｜由 T 在兩個向量上的像，推算 T 對第三個向量的像

計算題（10%）

• LDU 分解：把 A 表示成 A = LDU，其中 L 為主對角線全 1 的下三角、U 為上三角、D 為對角矩陣

這份考卷的難點

1. PART II 是非題第 8 題的跡（trace）循環性：tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) 成立，但 tr(ABC) = tr(ACB) 不成立——這是最容易誤答的一題，因為兩者長得很像。
2. LDU 分解（PART II 計算題）比一般的 LU 多一步：要把 U 的對角線抽出來成為 D，讓 U 的主對角線也變成 1。
3. PART I 第 4 題的原根：要驗算某數在 Z₁₃ 中的乘法階是否等於 φ(13) = 12。禁用計算器下要逐次方手算，是最花時間的選擇題。
4. PART I 是非題第 8 題的 1250：小於 100000（即最多 5 位數）且數字和為 12 的個數，要用 C(16,4) 減去排容修正（某位數超過 9 的情形），驗算頗繁。

準備建議

• PART I 是非題 1–7 與 108 年完全相同——中興的重複率是八所之冠，把 108、110、111 三份並排練最有效率
• 是非題的倒扣期望值為正（答對 +2、答錯 −1），不要因為看到「倒扣」就全部空白
• 滿 m 元樹的三個公式（110 PART I 第 7 題）：n = mi+1、l = (m−1)i+1、e = n−1，要背熟
• 跡的循環不變性（PART II 第 8 題）與相似矩陣的不變量（det、trace、特徵值）要分清楚哪些成立
• LU／LDU 分解在中興 109、110、111 三年都出現，是本校線代的招牌