111 中興資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、100 分，不得使用計算機。離散與線代各 50 分。

PART I 離散數學考點（50%）

選擇題 1–10，每題 2 分：

• 第 1 題｜長度 8 的位元串中，以 1 開頭或以 00 結尾的個數
• 第 2 題｜partial order 關係必須具備 reflexive、symmetric、transitive、antisymmetric 中的哪些性質
• 第 3 題｜哪些命題與 ¬p → q 等價
• 第 4 題｜Z₁₁ 中哪些數有 multiplicative inverse
• 第 5 題｜哪個是質數，選項為 2ⁿ−1 型的四個數
• 第 6 題｜12 人（6 男 6 女），辨識器判定有 8 個男生，其中 5 個真的是男生，判斷 precision 與 accuracy 的敘述
• 第 7 題｜A = {a, b, c}，P(A) 的元素個數，以及 ∅ 與 A 對 P(A) 的 ⊆、∈ 關係
• 第 8 題｜R、Z⁺、Z、Q 哪些與 N 有相同基數
• 第 9 題｜a ≡ b、c ≡ d (mod m) 時，哪些等式成立
• 第 10 題｜degree 為 4、有 10 條邊的 regular graph 有幾個頂點

計算題 1–6，每題 5 分：

• 第 1 題｜遞迴定義的集合：basis 是 2 ∈ S，recursive step 是 x、y ∈ S 則 x + y 與 x − y 也在 S，問 S 是什麼集合
• 第 2 題｜Tower of Hanoi 移動次數 a_n 與 a_n−1 的 recurrence
• 第 3 題｜從 52 張牌中至少抽幾張，才保證至少有 4 張紅心
• 第 4 題｜從有 1 元、2 元、5 元鈔票的錢箱（每種都超過 5 張）取出 5 張，可能的總金額有幾種
• 第 5 題｜8% 的病人感染，感染者 98% 驗出陽性，未感染者 3% 也驗出陽性，求驗出陽性但沒有感染的機率
• 第 6 題｜4 個元素的集合上有幾個 reflexive relation

PART II 線性代數考點（50%）

是非題 1–10，每題 2 分，答錯倒扣 1 分：

• 第 1 題｜一個 3×3 determinant（第一列為 b+c、c+a、b+a，第二列 a、b、c，第三列全 1）是否等於 0
• 第 2 題｜u = (1, 2, −1)、v = (3, 0, 1) 的 cross product 是否為題目給的向量
• 第 3 題｜一個 2×2 矩陣是否沒有實 eigenvalue
• 第 4 題｜dim(range T) + dim(null T) 是否等於 dim(domain)
• 第 5 題｜V 的 dimension 為 k 時，是否每個 spanning set 恰有 k 個向量
• 第 6 題｜一個 2×2 矩陣是否不 diagonalizable
• 第 7 題｜T(x₁, x₂, x₃) = (x₁ − x₂, x₂ − x₃, x₁ − x₃) 是否為一對一
• 第 8 題｜每個 symmetric matrix 是否都能寫成 orthogonal projection 矩陣的和
• 第 9 題｜矩陣 [[0, 1], [1, 0]] 是否沒有 LU 分解
• 第 10 題｜x₁² − 7x₂² + x₃² + 4x₁x₂x₃ 是否為 quadratic form

選擇題 1–5，每題 4 分：

• 第 1 題｜P、Q 為 n×n orthogonal matrix，哪些敘述為真（det P、PQ、P⁻¹、Q^T）
• 第 2 題｜哪些向量是 u = (i, −i, 3i) 與 v = (2i, 4i, 0) 的 linear combination
• 第 3 題｜R² 上的 linear operator T(x₁, x₂) = (−2x₂, −3x₁ + x₂)，哪些是它的 eigenvalue
• 第 4 題｜3×6 矩陣的 pivot position 是哪些
• 第 5 題｜R² 的 Euclidean inner product 下，哪些向量組構成 orthonormal set

計算題（10%）：

• 求一個 3×2 方程組的 least squares 解，並求 least squares 誤差

作答時要注意的地方

1. PART II 是非題答對 +2、答錯 −1，十題共 20 分。
2. PART I 沒有是非題，選擇題與計算題都沒有倒扣標示。
3. 計算題第 4 題問的是可能的總金額有幾種，不是取法的個數。
4. PART II 選擇題 2 的向量帶有複數係數。
5. least squares 的計算題同時要求 least squares 誤差。

準備方向

• Precision 與 accuracy：108 填空 ①②、111 第 6 題、114 第 6 題、115 第 10 題也有。
• Bayes' theorem：108 填空 ⑦、111 計算題第 5 題、114 第 5 題也有。
• Tower of Hanoi recurrence：108 填空 ⑥、111 計算題第 2 題。
• 位元串計數：108 填空 ⑧⑨、111 第 1 題。
• partial order 與 power set：110 第 1 題、111 第 2、7 題，108 是非第 4 題也有。
• 命題等價的判斷：110 第 3 題問 p → q，111 第 3 題問 ¬p → q，114 第 1 題問 p → (¬q ∧ r)。
• 哪個 2ⁿ−1 是質數：110 第 5 題、111 第 5 題。
• 可數性：110 第 8 題、111 第 8 題。
• congruence 與 multiplicative inverse：109 第 7 題、111 第 4、9 題，113 第 9 題與 115 第 5 題也有模運算。
• LU 分解：109 第 5 題、110 計算題、111 PART II 是非題第 9 題。
• orthogonal matrix 的性質：111 選擇第 1 題、113 第 14 題、114 第 14 題。
• least squares：111 計算題，114 第 13 題也有 least squares，112 第 6 題考 projection。