111 師大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、10 大題、100 分，申論題，卷面沒寫倒扣。卷面注意事項是「請依序在答案卷上作答，並標明題號，不必抄題」與「答案必須寫在指定作答區內，否則依規定扣分」。

離散數學排在線性代數前面，110 年的順序相反。第二頁頁首有 Related notations，定義 column vector、matrix transformation induced by A 與 B-matrix [T]_B。

離散數學考點（1–5，50%）

• 第 1 題（10%）｜f(n) = 5f(n/3) + 8，f(1) = 2，求 n = 3^k 時的 f(n)
• 第 2(1) 題｜WANNANNASSA 的字母全部用上，可以排出幾種不同的字串
• 第 2(2) 題｜(2x − 3y)²⁰⁰ 展開式中 x¹⁰³y⁹⁷ 的係數
• 第 3(1) 題｜給集合 A 上的關係 S 與 R 的 3×3 0-1 矩陣 M_S、M_R，求 R∘S 的矩陣
• 第 3(2) 題｜f : Z×Z → Z，f(m,n) = m + n，寫出 domain、codomain、domain of definition 與無定義的值所成的集合，並判斷是否為 total function
• 第 4(1) 題｜domain of discourse 為所有命題，用邏輯運算子、predicate 與 quantifier 表示「兩個恆真式的合取是恆真式」
• 第 4(2) 題｜7¹²³ mod 11
• 第 5(1) 題｜給 a 到 h 八個頂點的圖（a、b、c、d 與 e、f、g、h 兩組之間由 d–h 一條邊相連），判斷是否有 Hamilton circuit，有就找出一個，沒有就論證為什麼不存在
• 第 5(2) 題｜同一張圖，判斷是否有 Hamilton path，有就找出一條，沒有就論證為什麼不存在

第 2、3、4、5 題各 10 分，各分兩小題，卷面沒有標小題配分。

線性代數考點（6–10，50%）

• 第 6(1) 題（4%）｜u、v 是 R³ 中 linearly independent 的向量，a₁ = u、a₂ = u + 2v、a₃ = 2u + 2v、a₄ = v，求 A = [a₁ a₂ a₃ a₄] 的 reduced row echelon form
• 第 6(2) 題（4%）｜同一個 A，求 rank 與 nullity
• 第 7(a) 題（4%）｜3×3 矩陣 A，det A = −7，求矩陣 [a₁₁+2a₃₁, a₁₂+2a₃₂, a₁₃+2a₃₃ ; 3a₂₁, 3a₂₂, 3a₂₃ ; 2a₃₁−5a₂₁, 2a₃₂−5a₂₂, 2a₃₃−5a₂₃] 的 determinant
• 第 7(b) 題（4%）｜同一個 A，求矩陣 [−a₁₃, −2a₁₁, a₁₂ ; −a₂₃, −2a₂₁, a₂₂ ; −a₃₃, −2a₃₁, a₃₂] 的 determinant
• 第 8 題（10%）｜R³ 上的 linear operator T(x₁, x₂, x₃) = (3x₁ + x₃, x₁ + x₂, −x₁ − x₂ + 3x₃)，basis B = {b₁, b₂, b₃}，b₁ = (1,1,1)、b₂ = (1,2,3)、b₃ = (2,1,1)，求 [T]_B
• 第 9 題（12%）｜R³ 上的 linear operator T(x₁, x₂, x₃) = (2x₂ + 2x₃, 2x₁ + 2x₃, 2x₁ + 2x₂)，找出 orthonormal basis B 使 [T]_B 是 diagonal matrix，並寫出 [T]_B
• 第 10(1) 題（8%）｜v = (1, 5, 1, −1)^T，W 是 x₁ + x₂ − x₃ + x₄ = 0 與 x₁ − x₂ + 3x₃ + x₄ = 0 的解集合，求 W 的 orthogonal projection 矩陣 P_W
• 第 10(2) 題（4%）｜求 W 中離 v 最近的向量 w

作答時要注意的地方

1. 全卷申論題，卷面沒寫倒扣。
2. 第 6 題的 u、v 是 R³ 中 linearly independent 的向量，A 由 a₁ 到 a₄ 四個 column vector 組成。
3. 第 7 題兩小題各 4 分，卷面寫「4+4 分」。
4. 第 9 題要求的是 orthonormal basis。
5. 第 5 題沒有 Hamilton circuit 或 path 時，題目要求寫出論證。

準備方向

• recurrence 與遞迴定義：111 第 1 題；107 第 8(a) 題、109 第 7 題、110 第 7 題、114 第 9(b) 題也有。
• 計數（permutation、binomial、pigeonhole principle、關係計數）：111 第 2 題；106 第 8 題、107 第 8(b)、9(a) 題、108 第 6(1)(2)、8(2) 題、110 第 9(1) 題、112 第 10 題、114 第 9 題也有。
• 關係與函數：111 第 3 題；106 第 9(2)、12 題、107 第 6(b)、9(b)(c)(d) 題、108 第 6(3)、8(3) 題、109 第 9(2) 題、110 第 8(1) 題、112 第 6、8 題、114 第 9 題也有。
• 邏輯與 quantifier：111 第 4(1) 題；106 第 6、7(1) 題、107 第 7 題、108 第 9 題、109 第 6 題、110 第 10(1) 題也有。
• congruence 與數論：111 第 4(2) 題；106 第 7(2)(3)、10 題、107 第 10 題、108 第 8(1)、12(1) 題、109 第 10 題、112 第 7 題、113 第 7 題、114 第 8 題、115 第 7 題也有。
• 圖論：111 第 5 題；106 第 7(4) 題、107 第 6(d) 題、108 第 6(4)、8(4) 題、109 第 9(1) 題、110 第 8(2) 題、112 第 9 題、113 第 5 題、114 第 6、7 題、115 第 5、6 題也有。
• RREF、rank 與四大 subspace：111 第 6 題；106 第 1、2 題、107 第 1 題、108 第 1 題、109 第 2 題、110 第 2 題、112 第 1 題、113 第 1 題、114 第 1 題、115 第 1(a) 題也有。
• determinant 與 row operation：111 第 7 題；110 第 1 題、113 第 2(a) 題也有。
• basis、座標與 B-矩陣：111 第 8 題；106 第 3 題、108 第 2 題、112 第 3 題、114 第 3 題也有。
• eigenvalue、diagonalization 與 eigenspace：111 第 9 題；106 第 4 題、107 第 3、5 題、108 第 3 題、109 第 3、5 題、112 第 4 題、113 第 2(b)、4 題、114 第 2、5 題、115 第 1(b) 題也有。
• orthogonal projection、reflection 與最近向量：111 第 10 題；108 第 4 題、109 第 4 題、110 第 3、4 題、112 第 5 題、113 第 3 題、114 第 4 題、115 第 3 題也有。