112 師大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、10 大題、100 分，申論題，卷面沒寫倒扣。卷面注意事項是「請依序在答案卷上作答，並標明題號，不必抄題」與「答案必須寫在指定作答區內，否則依規定扣分」。卷首有 Some notation 定義區，定義 column vector、span、transpose 與 B-matrix [T]_B。

線性代數考點（1–5，50%）

• 第 1(a) 題（4%）｜S = {(−1, 2, 2)^T, (1, −1, 0)^T}，v = (2, r, −8)^T，求使 v 落在 span S 中的 r
• 第 1(b) 題（6%）｜求 3×4 矩陣 [[−1, 2, 1, −1], [2, −4, −3, 0], [1, −2, 0, 3]] 的 column space 與 null space 的 basis
• 第 2 題（10%）｜T : R³ → R³ 是 linear transformation，T(−1,1,1)^T = (0,1,0)^T、T(1,−1,1)^T = (4,−1,2)^T、T(1,1,−1)^T = (−2,3,−2)^T，求 T(x₁, x₂, x₃)^T 對任意 R³ 向量的式子
• 第 3 題（10%）｜A = {u₁, …, u_n} 是 Rⁿ 的 basis，B = {u₁, u₁+u₂, …, u₁+u_n} 也是 basis，已知 [v]_A = (a₁, …, a_n)^T，求 [v]_B
• 第 4 題（10%）｜A = [[2, 4, 4], [4, 17, −1], [4, −1, 17]]，求 orthogonal matrix P 與 diagonal matrix D 使 P^TAP = D
• 第 5(a) 題（6%）｜W 是 Span{(1,−1,0,0)^T, (1,0,1,0)^T} 的 orthogonal complement，求 W 的 orthogonal projection 矩陣 P_W
• 第 5(b) 題（4%）｜求 W 中離 v = (2, −1, 1, 2)^T 最近的向量 w

離散數學考點（6–10，50%）

• 第 6 題（15%）｜|A| = m、|B| = n，(a) 可以定義幾個 f : A → B (b) 幾個一對一函數 (c) n = 2 時幾個 surjection 函數
• 第 7 題（5%）｜p 為質數、x 為正整數，證明若 1·2·…·(p−1) = 1·2·…·(p−1)·x，則 x ≡ 1 (mod p)
• 第 8 題（10%）｜A = {a, b}，找出 A 上所有既不是 reflexive 也不是 transitive 的 binary relation R，或證明不存在
• 第 9(a) 題｜G 是 n 個頂點、m 條邊的 connected simple graph（n ≥ 2），其中有 n−1 個頂點的 degree 兩兩相異，證明恰有兩個頂點的 degree 是 ⌊n/2⌋
• 第 9(b) 題｜同一張圖，已知 m + n = 155，求 n 與 m
• 第 10 題（5%）｜n 為正整數，推導 Σ_k=0ⁿ (1/(k+1))·C(n,k) 的 closed form，closed form 可用的運算是四則運算與次方

作答時要注意的地方

1. 全卷申論題，卷面沒寫倒扣。
2. 第 1 題 (a) 4 分、(b) 6 分，第 5 題 (a) 6 分、(b) 4 分。
3. 第 6 題 15 分，(a)(b)(c) 三小題卷面沒有標配分；第 9 題 15 分，(a)(b) 兩小題也沒有標配分。
4. 第 7、9(a) 是證明題。
5. 第 8 題問的是既不是 reflexive 也不是 transitive，題目允許回答「不存在」。
6. 第 10 題要求的 closed form 只能使用四則運算與次方。
7. 第 2 題給的三個輸入向量與 107 年第 2 題相同，像不同。

準備方向

• RREF、rank 與四大 subspace：112 第 1 題；106 第 1、2 題、107 第 1 題、108 第 1 題、109 第 2 題、110 第 2 題、111 第 6 題、113 第 1 題、114 第 1 題、115 第 1(a) 題也有。
• 由像決定 linear transformation：112 第 2 題；107 第 2 題、109 第 1 題也有。
• basis、座標與 B-矩陣：112 第 3 題；106 第 3 題、108 第 2 題、111 第 8 題、114 第 3 題也有。
• eigenvalue、diagonalization 與 eigenspace：112 第 4 題；106 第 4 題、107 第 3、5 題、108 第 3 題、109 第 3、5 題、111 第 9 題、113 第 2(b)、4 題、114 第 2、5 題、115 第 1(b) 題也有。
• orthogonal projection、reflection 與最近向量：112 第 5 題；108 第 4 題、109 第 4 題、110 第 3、4 題、111 第 10 題、113 第 3 題、114 第 4 題、115 第 3 題也有。
• 關係與函數：112 第 6、8 題；106 第 9(2)、12 題、107 第 6(b)、9(b)(c)(d) 題、108 第 6(3)、8(3) 題、109 第 9(2) 題、110 第 8(1) 題、111 第 3 題、114 第 9 題也有。
• congruence 與數論：112 第 7 題；106 第 7(2)(3)、10 題、107 第 10 題、108 第 8(1)、12(1) 題、109 第 10 題、111 第 4(2) 題、113 第 7 題、114 第 8 題、115 第 7 題也有。
• 圖論：112 第 9 題；106 第 7(4) 題、107 第 6(d) 題、108 第 6(4)、8(4) 題、109 第 9(1) 題、110 第 8(2) 題、111 第 5 題、113 第 5 題、114 第 6、7 題、115 第 5、6 題也有。
• 計數（permutation、binomial、pigeonhole principle、關係計數）：112 第 10 題；106 第 8 題、107 第 8(b)、9(a) 題、108 第 6(1)(2)、8(2) 題、110 第 9(1) 題、111 第 2 題、114 第 9 題也有。