112 成大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、10 題、100 分，不可使用計算機。

離散數學考點（1–5，各 10%）

• 第 1 題｜100 到 999 之間的三位數迴文數（如 131、222、303），不實際列舉，求它們的總和
• 第 2 題｜數列 1, 1, 1, …, 1, 0, 0, 0, …（前 n+1 項為 1）的 generating function
• 第 3 題｜|A| = |B| = m 時，從 A 到 B 的 bijection 函數有幾個
• 第 4 題｜解非齊次 recurrence a_n+2 − 5a_n+1 + 6a_n = 2（a₀ = 3、a₁ = 7）
• 第 5 題｜若 2a + 3b 是 17 的倍數，判斷「17 整除 9a + 5b」是否為真

線性代數考點（6–10）

• 第 6 題（9%）｜求 w = (8, −4, −12) 在 basis {(1,1,1), (1,5,−3), (2,2,1)} 下的 coordinate vector
• 第 7 題（9%）｜{u₁, u₂, u₃} 為 inner product space V 的 orthonormal basis，x = c₁u₁+c₂u₂+c₃u₃ 滿足 ‖x‖ = 5、⟨u₁,x⟩ = 4、x ⊥ u₂，求 c₁、c₂、c₃ 的所有可能值
• 第 8 題（10%）｜A 為 5×7 且 rank = 4：(a) 5% Ax = 0 解空間的 dimension (b) 5% Ax = b 是否對所有 b ∈ R⁵ 都相容，並說明
• 第 9 題（10%）｜已知 A 的 characteristic polynomial p(λ) = (λ+1)(λ−2)²(λ+3)³，求 det(A⁻¹)
• 第 10 題（12%）｜是非題，四小題各 3%
• 第 10(a) 題｜eigenvalue 皆非零是否蘊含 nonsingular
• 第 10(b) 題｜5×5 且 rank = 1、λ=0 重數為 4 時是否 diagonalizable
• 第 10(c) 題｜row equivalent 矩陣的 determinant 是否相等
• 第 10(d) 題｜A 可逆時 rank(A^T) 是否為 0

作答時要注意的地方

1. 離散部分十題中五題各 10 分，配分平均。
2. 第 7 題問的是所有可能值。
3. 第 6、7 題各 9 分，第 10 題 12 分，配分與其他題不同。

準備方向

• generating function 的常見形式：112 第 2 題、113 第 2、3 題。
• rank 與解空間 dimension（112 第 8 題）。
• 非齊次 recurrence：112 第 4 題、113 第 1 題、114 第 4 題、115 第 4 題。
• row equivalent 矩陣的 determinant 是否相等：112 第 10(c) 題、114 第 7 題。
• characteristic polynomial 與 determinant 的關係（112 第 9 題）。
• coordinate vector 與 orthonormal basis（112 第 6、7 題）。