112 中正資工所考古題解答｜數學考點分析

全卷 8 大題，線代 50 分、離散 50 分。第 1 題是 10 個單選小題共 20 分，第 5 題 18 分考九個 quantifier 敘述，其餘是申論與計算。

題型與配分

全卷 3 頁、8 大題、100 分。答案寫在試卷（答案卷）作答區內，限用藍色或黑色筆（含鉛筆），試題須隨試卷繳還。入場後 40 分鐘內不得離場。第 1 題是選擇題，題目寫明每答對一小題得 2 分，沒有倒扣規定。

第 1 題（20%）｜十個單選小題，每題 2 分

第 1(a) 題｜齊次方程組 Ax = 0，給一個矩陣 A，選項涉及解的存在、null space 的 dimension、Ax = b 的解
第 1(b) 題｜2×2 實矩陣的四個子集（skew-symmetric matrix、可逆、singular matrix、A² = 0 的矩陣）哪一個是向量 subspace
第 1(c) 題｜A 為 4×4 可逆，哪個敘述不正確：elementary matrix 的乘積、det(A)、Ax = b 的解、(A⁻¹)^T 與 (A^T)⁻¹
第 1(d) 題｜3×3 矩陣 A 的 eigenvalue 為 −1, 2, 4，哪個敘述不正確：可逆、diagonalizable、tr(A)、det(A)
第 1(e) 題｜四組 2×2 矩陣中哪一組不是「2×2 對稱矩陣空間」的 basis
第 1(f) 題｜A 為 4×7 矩陣，哪個敘述不正確：rank 的最大值、rank 與 column space dimension、Ax = 0 的解、rank 加 nullity
第 1(g) 題｜lower triangular matrix L，哪個敘述不正確：L⁻¹、det(L)、L²、L^T
第 1(h) 題｜3×3 矩陣 A 的 eigenvalue 為 2, 3, 4，哪個敘述不正確：A⁻¹、A²、A^T、A + 5I 的 eigenvalue
第 1(i) 題｜C[−1,1] 上的 inner product ⟨f,g⟩ = ∫₋₁¹ f(x)g(x)dx，哪一組函數 orthogonal
第 1(j) 題｜least squares 解，哪個敘述不正確：b 在 column space 時的解、normal equation 的相容性、唯一性、與 projection 的關係

第 2 題（10%）｜用文字說明矩陣分解

第 2(a) 題｜5%：簡述 spectral decomposition 與矩陣性質、eigenvalue、diagonalization 的關係，並寫出定義
第 2(b) 題｜5%：簡述 SVD 與矩陣性質、singular value、diagonalization、orthogonal matrix 的關係，並寫出定義

第 3 題（10%）｜給 3×4 矩陣 A 與用 Gaussian elimination 得到的 RREF，求 A 的 row space 的 orthonormal basis

第 4 題（10%）｜S = {v₁, v₂} 是 R² 的 basis，v₁ = (1,1)^T、v₂ = (1,0)^T，linear operator T 滿足 T(v₁) = (1,−2)^T、T(v₂) = (−4,1)^T

第 5 題（18%）｜Q(x,y) 是敘述 x + y = x − y，domain of discourse 是全體整數，判斷九個敘述的真假：(a) Q(1,1)、(b) Q(2,0)、(c) ∀yQ(1,y)、(d) ∃xQ(x,2)、(e) ∃x∃yQ(x,y)、(f) ∀x∃yQ(x,y)、(g) ∃y∀xQ(x,y)、(h) ∀y∃xQ(x,y)、(i) ∀x∀yQ(x,y)
第 6 題（10%）｜pigeonhole principle：從前 12 個正整數中最少選幾個，才能保證至少有三對的和為 13
第 7 題（10%）｜二進位字串。(a) 5%：長度 n 且含有一對連續 0 的字串個數，寫出 recurrence relation。(b) 2%：初始條件。(c) 3%：長度 7 的字串中不含兩個連續 0 的有幾個
第 8 題（12%）｜regular graph 與 complement graph。(a) 4%：degree 為 6、有 36 條邊的 regular graph 有幾個頂點。(b) 4%：G 有 50 條邊、complement graph Ḡ 有 16 條邊，問 G 有幾個頂點。(c) 4%：G 有 x 個頂點、y 條邊，求 Ḡ 的邊數

eigenvalue 與可逆、diagonalizable、trace、determinant 的對應（112 第 1(c)(d)(h) 題）。
subspace、basis 與 rank、nullity 的觀念判斷（112 第 1(a)(b)(e)(f) 題），110 第 1 題、114 第 3 題也有。
用文字說明矩陣分解的成立條件（112 第 2 題考 spectral decomposition 與 SVD），110 第 5 題考 QR 與 SVD，107 第 4 題、115 第 7 題考 SVD 的計算。
row space 的 basis（112 第 3 題），110 第 1 題、114 第 3 題也有。
predicate logic 真假判斷（112 第 5 題 domain of discourse 是整數），110 第 6 題、114 第 5 題 domain of discourse 是實數，113 第 6 題考翻譯。
pigeonhole principle 湊三對和為定值（112 第 6 題），108、110、114 也有。
二進位字串遞迴（112 第 7 題），109 第 11 題、110 第 9 題也有。
complement graph 的邊數與頂點數（112 第 8 題），108 第 11 題、110 第 10 題也有；112 第 8(a) 題的 regular graph 在 106 第 8 題也有。
抽象 vector space 的 inner product（112 第 1(i) 題），111 第 5 題、113 第 5 題、115 第 6 題也有。