中正資工所考古題解答數學十年大統整（106–115）

各章配分

表中數字是各題的卷面配分，依主題加總。有子題的照子題分，沒有子題的整題算在主要考點。線代與離散分開列，各自依十年合計排序，顏色越深，占當年總分的比例越高。triple product 與 cross product（107、113）算在線代的 Other，求 A^k 算在 Matrix Powers & Functions，115 年第 11 題用 induction 證明 A^r 的元素等於路徑數，依主題算在 Graph Theory。

章／細項	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	合計	占比	年數
Linear Algebra	50	50	50	50	50	50	50	50	50	50	500	50%	10
Inner Product Spaces	20	10	28	6	18	30	14	10		10	146	15%	9
Orthogonal Projection & Complement	10	10	20		5	10					55	6%	5
Gram-Schmidt & QR	10			6	13	10	10				49	5%	5
Inner Products & Norms						10	2	10		10	32	3%	4
Least Squares			8				2				10	1%	2
Vector Spaces	15		15	15	20	10	6	20	25	11	137	14%	9
Basis, Dimension & Coordinates			15	15	17	10	2		25		84	8%	6
Linear Independence & Span	15									10	25	2%	2
Rank & Nullity					3		2	10		1	16	2%	4
Subspaces & Direct Sums							2	10			12	1%	2
Symmetric & Normal Matrices		15	7	10	5		10			15	62	6%	6
SVD & Pseudo-inverse		15			5		5			10	35	4%	4
Spectral Theorem & Orthogonal Diagonalization			7	10			5			5	27	3%	4
Eigenvalues & Diagonalization	5			9		10	4	10	15		53	5%	6
Matrix Powers & Functions	5			4		10			15		34	3%	4
Eigenvalues & Eigenvectors				5			4	10			19	2%	3
Matrices & Linear Systems	10	15					6			9	40	4%	4
Linear Systems & Row Reduction	10	15					2			9	36	4%	4
Matrix Inverse							2				2	<1%	1
Matrix Algebra & Special Matrices							2				2	<1%	1
Linear Transformations					7		10		10	5	32	3%	4
Linearity, Kernel & Range							10		10	5	25	2%	3
Matrix Representation & Change of Basis					7						7	<1%	1
Other		10						10			20	2%	2
Determinants				10							10	1%	1
Discrete Mathematics	50	50	50	50	50	50	50	50	50	50	500	50%	10
Logic & Proofs	10	25	18		10	10	18	20	16	15	142	14%	9
Propositional & Predicate Logic		15	8		10		18	10	16	15	92	9%	7
Proof Techniques & Induction	10	10	10			10		10			50	5%	5
Graph Theory	10	5	5	15	10	20	12	30	12	10	129	13%	10
Graph Basics & Isomorphism	10	5	5	15	10	10	12	2	12	10	91	9%	10
Trees						10		12			22	2%	2
Planar Graphs								10			10	1%	1
Euler & Hamilton								4			4	<1%	1
Graph Algorithms								2			2	<1%	1
Recurrences & Generating Functions	10		10	20	10	10	10		13		83	8%	7
Linear Recurrence Relations	10		10	10	10	10	10				60	6%	6
Other Recurrences				10					13		23	2%	2
Counting		10	10	5	10		10		9	15	69	7%	7
Pigeonhole Principle			10	5	10		10		9		44	4%	5
Catalan & Stirling Numbers										15	15	2%	1
Inclusion-Exclusion & Derangements		10									10	1%	1
Number Theory	10	10		10	10						40	4%	4
Modular Arithmetic	10	10		10	10						40	4%	4
Sets, Relations & Functions	10		7			10				10	37	4%	4
Sets	10		7			10				10	37	4%	4

八校各章配分比較 →

線代這邊 Inner Product Spaces 合計 146 分最多，十年九年有（114 年沒有），orthogonal projection 與 Gram-Schmidt 各出現五年；Vector Spaces 137 分次之。離散這邊 Logic & Proofs 142 分、Graph Theory 129 分，Graph Theory 十年每年都有。

重複出題清單

題目	出現年度
contrapositive 與 proof by contradiction 證明「n³ + 5 為奇數則 n 為偶數」、用 incidence matrix 判斷 isomorphism、正有理數 countable	106 第 9、10、11 題、111 第 6、7、8 題（三題相同，兩個 incidence matrix 也相同）
rules of inference 的形式證明（同一組前提與結論）	107 第 5 題（期末考）、115 第 8 題（第一次考試）
SVD 與 rank-1 近似	107 第 4 題、115 第 7 題
triple product u·(v × w) = −4	107 第 2 題、113 第 1 題
degree 為 6 的 regular graph 有幾個頂點	106 第 8 題（99 條邊）、112 第 8(a) 題（36 條邊）
pigeonhole principle「湊出三對和為 S」	108（和 24）、110（和 11）、112（和 13）、114（和 15）
二進位字串的 recurrence（連續 0）	109（含連續三個 0）、110（不含兩個連續 0）、112（含一對連續 0）
「長度 7 且不含兩個連續 0」的字串個數	110 第 9(c) 題、112 第 7(c) 題（問的是同一個量）
recurrence a_n² − 2a_n−1² = 1、a₀ = 1	109 第 7 題、114 第 7 題（同一題）
predicate logic 真假判斷	110 第 6 題、114 第 5 題（(a)–(e) 五小題相同）、112 第 5 題（整數 domain）
complement graph 的邊數與頂點數的關係	108 第 11 題、110 第 10 題、112 第 8 題
modular inverse 與 linear congruence	106 第 6 題（5 mod 43）、109 第 9 題（144 mod 233）、110 第 7 題（72 mod 233）
向量沿 a 的分量與 orthogonal 分量	106 第 1 題、108 第 2 題、111 第 1 題
補完 orthonormal basis 並問有幾種選法	109 第 4 題、110 第 4(a) 題
row／column／null space 的 basis	110 第 1 題、112 第 3 題（只問 row space 的 orthonormal basis）、114 第 3 題
矩陣的高次冪	109 第 5(c) 題（(A+I)¹⁰⁰）、111 第 4 題（A¹³）、114 第 4 題（A¹¹），113 第 4 題問 A⁷ 的 eigenvalue
由 eigenvalue 與 eigenvector 求 symmetric matrix	108 第 4 題（求矩陣）、115 第 4 題（問是否存在）
用文字說明矩陣分解的條件	110 第 5 題（QR、SVD）、112 第 2 題（spectral decomposition、SVD）
非 isomorphic 的（rooted）tree 枚舉	111 第 10 題、113 第 9(b) 題
graph isomorphism 的判定與證明	106 第 10 題、111 第 7 題、114 第 8(a) 題
抽象 vector space 的 inner product	111 第 5 題（積分 inner product）、112 第 1(i) 題、113 第 5 題（weighted inner product）、115 第 6 題（三個運算的判定）
countability 證明	106 第 11 題、111 第 8 題（正有理數）、115 第 10 題（無限集含可數子集）
hypercube Q_n	109 第 6 題（畫 Q₄）、113 第 9(e) 題（Q₄ 的 minimum spanning tree）
induction 證明	107 第 6 題、113 第 7 題、115 第 11 題

常考的四個題型

1. Pigeonhole principle「湊出三對和為 S」（108、110、112、114）

四年都是同一個模板，取材範圍和目標和每年不同：

年度	取材範圍	目標和
108	{1,3,5,…,23} 十二個奇數	24
110	前 10 個正整數	11
112	前 12 個正整數	13
114	前 12 個正整數	15

2. 二進位字串的 recurrence（109、110、112）

三年都問長度 n 的 0/1 字串中連續 0 的計數，都拆成 recurrence、初始條件、長度 7 的個數三小題。109 問含有連續三個 0，110 問不含兩個連續 0，112 的 (a) 問含有一對連續 0、(c) 問不含兩個連續 0。更早的 106 第 7 題問含偶數個 1 的字串的 recurrence relation，107 第 8 題問長度 10 且含連續五個 0 或連續五個 1 的字串個數。

3. Predicate logic（107、110、112、113、114、115）

110 年起除了 111 年，每年都有 predicate logic 的題目，107 年也有。配分：107 年 15 分、110 年 10 分、112 年 18 分、113 年 10 分、114 年 16 分、115 年 15 分。108 年第 7 題的 muddy children puzzle 在表上也算在 Propositional & Predicate Logic。

真假判斷：110（實數 domain）、112（整數 domain）、114（實數 domain）。
翻譯成 predicate 式：113（五句話，每句 2 分）。
用 rules of inference 建構論證：107、115（前提與結論先寫成符號式，再建構論證；115 年要逐步標註用到的 rule）。兩年用同一組前提與結論。

4. 線代的 subspace basis、diagonalization、矩陣分解

row／column／null space 的 basis：110、112、114。
diagonalization 與 A^k：109、111、113、114。
矩陣分解：106（LU decomposition，指定用分解求解）、107（由 A^TA 求 SVD 與 rank-1 近似）、110（QR、SVD 的文字說明）、112（spectral decomposition、SVD 的文字說明）、115（由 A^TA 的 orthogonal diagonalization 求 SVD 與 rank-1 近似）。

題型演變

年度	頁數	題數	形式	特色
106	2	11	無選擇題	LU decomposition 指定用分解求解；第 9、10、11 題在 111 年原題再考
107	3	9	無選擇題	含參數的方程組、SVD 與 rank-1 近似、rules of inference 的形式證明、full binary tree 的 structural induction
108	2	11	無選擇題，第 6 題為真假判斷	集合 ∈ 與 ⊆ 判斷、muddy children puzzle、Nim 取石遊戲的證明
109	2	11	無選擇題	畫 Q₄、列出路徑、modular inverse mod 233
110	2	10	無選擇題，第 6 題為真假判斷	第 1 題 12 分、第 2 題 8 分，其餘每題 10 分；用文字說明 QR 與 SVD
111	2	10	無選擇題	每題 10 分；第 6、7、8 題與 106 年相同、積分 inner product 的 Gram-Schmidt
112	3	8	第 1 題為 10 個單選小題（20 分），其餘申論	九個 quantifier 敘述 18 分
113	2	9	前 4 題為選擇題（1、2、4 可複選），其餘申論與填空	十格圖論填空 20 分、T-omino 的 induction 證明
114	2	8	無選擇題，第 5 題為真假判斷	八個 quantifier 敘述 16 分
115	2	11	無選擇題	系所組別只寫「資訊工程學系」；第 1、2、4、6、8、10、11 題寫明要證明或說明理由

十年的卷面都沒有倒扣規定。線代與離散各 50 分，十年都一樣。

給 116 年考生的準備方向

十年卷面都沒有倒扣規定，112 年第 1 題明寫每答對一小題得 2 分。
把 106–115 十份各做一遍。重複出題清單上有幾題在不同年度原樣出現（106 與 111 的三題證明與 isomorphism、107 與 115 的 rules of inference、109 與 114 的 recurrence、110 與 114 的 predicate logic）。
115 年有 7 題（第 1、2、4、6、8、10、11 題）寫明要證明或說明理由。證明的寫法在 106、111（contrapositive、proof by contradiction）、107（rules of inference、structural induction）、113（induction）、115（induction、rules of inference）都考過。
抽象 vector space 與 inner product：多項式空間 P₂、C[−1,1]、2×2 矩陣空間、weighted inner product、含導數的 inner product。111、112、113、115 四年都有。
115 年的系所組別只寫「資訊工程學系」，沒有分甲組、乙組。

本頁的題型、配分、作答規定都取自各年度試卷上的標示，各章配分與重複題是逐題整理的。如果發現有誤，歡迎來信指正。

中正資工所考古題詳解數學十年大統整（106–115）