107 中正資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 3 頁、9 題、100 分。沒有選擇題。卷面沒有倒扣規定。

線性代數考點（1–4，50%）

• 第 1 題（15%）｜方程組 x + 2y − 3z = 4、3x − y + 5z = 2、4x + y + (a² − 2)z = a + 4，求 a 的值使方程組 (a) 5%：無解。(b) 5%：恰有一解。(c) 5%：有無限多解
• 第 2 題（10%）｜卷上給 triple product u·(v × w) 的 determinant 公式，已知 u·(v × w) = −4，求 (a) 5%：u·(w × v)。(b) 5%：(v × w)·u
• 第 3 題（10%）｜求 u = (1,−6,1) 在 v₁ = (−1,2,1)、v₂ = (2,2,4) span 的 R³ subspace 上的 orthogonal projection
• 第 4 題（15%）｜A = [[2,−1],[−2,1]]。(a) 5%：求 A^TA 的 eigenvalue 與 eigenvector。(b) 7%：求 A 的 SVD。(c) 3%：求 A 的 rank-1 近似

離散數學考點（5–9，50%）

• 第 5 題（15%）｜結論「有人通過了期末考但沒讀過那本書」，前提「這門課有一個學生沒讀過那本書」與「這門課每個人都通過了期末考」，C(x)、B(x)、P(x) 分別表示「x 在這門課」「x 讀過那本書」「x 通過期末考」。(a) 5%：把前提與結論寫成符號式。(b) 10%：用 rules of inference 建構有效論證
• 第 6 題（10%）｜卷上給 full binary tree 的高度 h(T) 與頂點數 n(T) 的遞迴定義，用 induction 證明 n(T) ≤ 2^h(T)+1 − 1。(a) 5%：寫出 basis step。(b) 5%：寫出 inductive hypothesis 與 inductive step
• 第 7 題（10%）｜求聯立 congruence x ≡ 1 (mod 2)、x ≡ 2 (mod 3)、x ≡ 3 (mod 5)、x ≡ 4 (mod 11) 的所有解
• 第 8 題（10%）｜長度 10 的二進位字串中，含有連續五個 0 或連續五個 1 的有幾個
• 第 9 題（5%）｜undirected graph 各頂點 degree 和與邊數的關係，並說明為什麼成立

作答時要注意的地方

1. 全卷沒有選擇題，卷面沒有倒扣規定。
2. 第 1 題要分別寫出無解、恰有一解、無限多解三種情況。
3. 第 5(b) 題要用 rules of inference 建構論證，第 6 題指定用 induction 並分成 basis step 與 inductive step。
4. 第 7 題問的是所有解。
5. 第 9 題除了寫出關係，還要說明理由。

準備方向

• rules of inference 的形式證明（107 第 5 題），115 第 8 題用同一組前提與結論，只把期末考改成第一次考試。
• SVD 與 rank-1 近似（107 第 4 題），115 第 7 題也考 SVD 與 rank-1 近似，110 第 5 題、112 第 2 題考的是文字說明。
• triple product（107 第 2 題），113 第 1 題也給 u·(v × w) = −4 判斷其他 triple product。
• orthogonal projection（107 第 3 題），108、110、111、112 也有 orthogonal projection 或 least squares。
• 結構 induction（107 第 6 題），113 第 7 題、115 第 11 題也要求用 induction 證明。
• congruence（107 第 7 題），106 第 6 題、109 第 9 題、110 第 7 題考的是 modular inverse 與線性 congruence。
• 二進位字串的連續 0 或連續 1（107 第 8 題），109、110、112 考的是連續 0 的遞迴。
• degree 和與邊數的關係（107 第 9 題），106 第 8 題、112 第 8 題也用到。