107 交大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 3 頁、15 題、100 分，不可使用計算機。

作答規定同 106 年：先清楚寫下答案，再說明如何計算，且依序作答，不要跳題。

離散數學考點（1–9，各 5–10%）

• 第 1 題（5%）｜集合運算的元素個數計算（power set、Cartesian product、交集的組合）
• 第 2 題（5%）｜bag（可重複集合）的 subbag 個數：{4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7} 有幾個 subbag
• 第 3 題（5%）｜把「每個大於 6 的自然數都能寫成三個質數之和」翻譯成 predicate logic 式
• 第 4 題（10%）｜n = 10a + b 時，找出 −9 ≤ x, y ≤ 9 使「n 是 17 的倍數 ⟺ xa + yb 是 17 的倍數」，並證明
• 第 5 題（5%）｜給 a_n = 4n − 2 與 a_n = n(n+1)，寫出它們的遞迴定義
• 第 6 題（5%）｜找出一段 induction 證明的瑕疵：「三分與四分郵票能組出任何 ≥ 3 分的郵資」
• 第 7 題（5%）｜硬幣擲六次的機率：(1) 全部正面 (2) 恰三次正面 (3) 正面次數為偶數
• 第 8 題（5%）｜(1) 求包含 {(a,b),(a,c),(d,e)} 的最小 equivalence relation (2) 寫出它分割出的 equivalence class
• 第 9 題（5%）｜判斷兩對圖是否 isomorphic

線性代數考點（10–15）

第 10–14 題為是非題（各 5%），每題給五個小敘述：

• 第 10 題｜reduced row echelon form 的五個條件
• 第 11 題｜nonsingular 矩陣的等價條件
• 第 12 題｜elementary matrix 的性質
• 第 13 題｜determinant 的性質：det(A) = det(B) 與 A = B、det(rA+B) 的分配性、transpose 乘積的 determinant、row equivalent 矩陣的 determinant
• 第 14 題｜n 個 Rⁿ 中的 column vector：linearly independent 與 nonsingular、determinant、null space、rank-nullity theorem、rank(A) 與 rank(A^T) 的關係

第 15 題（25%）為計算題：

• (1) 6%｜求向量 x 在矩陣 A 的 row space 上的 projection
• (2) 6%｜用 Gram-Schmidt 從 A 的 column vector 求出 orthogonal basis B₂
• (3) 6%｜求某矩陣的 eigenvalue 與 eigenvector，構成 ordered basis B₃
• (4) 7%｜求從 basis B₃ 到 B₂ 的座標 transformation matrix

作答時要注意的地方

1. 第 15 題四小題連動，合計 25 分，後面的小題用到前面的結果。
2. 第 10–14 題五題是非題共 25 分，每題五個小敘述。
3. 第 4 題要自己找出係數並證明。

準備方向

• 邏輯翻譯（106 第 1 題、107 第 3 題）與圖 isomorphism（106 第 5 題、107 第 9 題）兩年都考；equivalence relation（第 8 題）與 induction 的瑕疵（第 6 題）是 107 年才有。
• 線代是非題：106 第 11 題、107 第 10–14 題。
• Gram-Schmidt、projection、座標 transformation matrix（107 第 15 題）。
• 圖 isomorphism 的判斷，106、107 連兩年出現。