交大資工所數學考古題十年大統整（106–115）
題型演變
| 年度 | 科目代號 | 題數 | 頁數 | 離散／線代 | 倒扣 |
|---|---|---|---|---|---|
| 106 | 1102 | 13 | 3 | 45 / 55 | 無 |
| 107 | 1102 | 15 | 3 | 45 / 55 | 無 |
| 108 | 1102 | 11 | 2 | 45 / 55 | 無 |
| 109 | 1102 | 12 | 3 | 45 / 55 | 無 |
| 110 | 1102 | 10 | 5 | 45 / 55 | 第 8、9 題答錯 −1；第 10c 答錯 −5 |
| 111 | 1102 | 9 | 3 | 50 / 50 | 第 6c 答錯 −5；第 7b 答錯 −2 |
| 112 | 1102 | 9 | 3 | 50 / 50 | 無 |
| 113 | 8102 | 12 | 3 | 50 / 50 | 第 9 題答錯 −5（扣至 7、8、9 題 0 分） |
| 114 | 8102 | 9 | 3 | 50 / 50 | 第 6(a)–(d) 答錯 −4 |
| 115 | 8102 | 9 | 4 | 50 / 50 | 第 5 題答錯 −5（扣至 3、4、5 題 0 分） |
113 年起科目代號從 1102 改為 8102（與軟體從 1101 改為 8101 同步）。近六年有五年設有倒扣。
交大最實用的發現：重複出題
| 題目 | 出現年度 | 重複程度 |
|---|---|---|
| 線代是非題四組（非奇異矩陣定義、基本矩陣、行列式性質、線性獨立） | 107 第 11–14 題、115 第 1 題 | 幾乎一字不差 |
| QR 分解求最小平方解（給 A 與 b、已完成第一步） | 108 第 4 題、112 第 2-1 題 | 完全同型 |
| 矩陣極限 lim Ck 與矩陣指數 eC | 108 第 5 題、112 第 2-2 題 | 同一個矩陣 |
| 遞迴定義的寫法（給封閉式求遞迴式） | 107 第 5 題、109 第 2 題 | 同型 |
| 圖同構的判斷與論證 | 106 第 5 題、107 第 9 題、114 第 5 題 | 三次 |
| 邏輯式翻譯（質數／Goldbach／自然數無限／四子棋） | 106、107、112、113、114 | 五次 |
| 最小平方法求誤差平方和 | 106 第 10 題、113 第 8 題 | 同型（一次配直線、一次配二次） |
| LU／PA=LU 分解 | 109 第 8 題、113 第 7 題 | 兩次 |
| SVD | 111 第 9 題、115 第 4 題 | 兩次 |
| Gram-Schmidt 與正交基底 | 107、108、110、111、112 | 五次 |
107 ↔ 115、108 ↔ 112 這兩組建議成對練習，重複程度極高。
每年必考的四個題型
1. Gram-Schmidt／QR 分解／最小平方解（10 年中 7 年）
這是交大線代的絕對核心。常見的問法是「已完成第一步，請你接著算完 Q 與 R，再用 QR 求最小平方解」。
111 年還明訂「必須依行的順序處理，否則零分」。
2. 邏輯式的翻譯（106、107、112、113、114）
把自然語言敘述精確轉成 ∀、∃ 與連接詞。素材包括：質數的分布、Goldbach 猜想、自然數的無限性、四子棋的盤面狀態。
3. 圖論的基本量（幾乎每年）
二分圖判定、Euler path/circuit 的構造、圖同構的論證、平面圖的 Euler 公式（v−e+f = 2、e ≤ 3v−6）、著色數與著色多項式、生成樹計數（Cayley 公式）。
4. 「答錯倒扣」的證明題（110、111、113、115）
| 年度 | 題目 | 倒扣 |
|---|---|---|
| 110 | 相異特徵值的特徵向量線性獨立 | −5 |
| 111 | N(ATA) = N(A)；正交矩陣的 det 為 ±1 | −5／−2 |
| 113 | (A−1)T = (AT)−1 | −5 |
| 115 | ‖x‖=1 下 Ax=0 的最小平方解 | −5 |
這四題都是線代的基本定理，練熟就是穩分；不熟就該留白。
主題出現年度一覽
離散數學
| 主題 | 出現年度 |
|---|---|
| 邏輯與述詞翻譯 | 106、107、108、112、113、114、115 |
| 圖論（同構／Euler／平面圖／著色） | 106、107、109、110、111、112、113、114 |
| 關係（等價、偏序、計數） | 106、107、108、109、114、115 |
| 遞迴式（解與建模） | 106、107、108、109、110、111、115 |
| 計數與排容原理 | 106、107、110、113、114 |
| 生成函數 | 110、112 |
| 數論（gcd、整除、模） | 107、109、110、115 |
| 集合論與基數 | 110、112、114、115 |
| 數學歸納法 | 107、110、115 |
線性代數
| 主題 | 出現年度 |
|---|---|
| Gram-Schmidt／正交化／投影 | 107、108、110、111、112 |
| 最小平方解／QR 分解 | 106、108、110、112、113 |
| 行列式 | 106、107、109、110、113、114、115 |
| 特徵值與可對角化 | 106、108、110、111、113 |
| 是非判斷題 | 106、107、110、114、115 |
| LU／PA=LU／Cholesky 分解 | 109、113 |
| SVD | 111、115 |
| 四個基本子空間 | 106、109、110、111 |
| 二次型 | 112、114 |
| 矩陣函數（極限、指數、冪） | 108、112 |
| 馬可夫鏈 | 106 |
| 齊次座標與 3D 旋轉 | 109 |
必守的五個主題
- Gram-Schmidt → QR → 最小平方解 —— 十年考七年，是交大線代最穩的一塊
- 行列式的性質與計算 —— 十年考七年，包含是非判斷與大型稀疏矩陣的展開
- 邏輯式翻譯 —— 十年考七年，是離散最容易準備的送分題
- 圖論的四個公式（Euler 公式、握手定理、e ≤ 3v−6、Cayley 公式）—— 幾乎年年出現
- 線代基本定理的證明（N(ATA)=N(A)、特徵向量線性獨立、正交矩陣的行列式）—— 近六年有四年考，而且有倒扣
給 116 年考生的策略
- 進場先讀卷首與每個題組的計分說明。 交大近六年有五年設倒扣，而且規則不一致（有的扣 1 分、有的扣 4 分、有的扣 5 分）
- 看到「不會寫請留白」就真的留白 —— 這四次都是線代的基本定理證明，會就寫、不會硬掰只會倒扣
- 「先寫答案再解釋」與「依序作答」是卷面明訂的規定，練習時就照這個格式
- 107 與 115、108 與 112 成對練習 —— 重複程度極高，等於多拿一整份考卷的準備效益
- 科目全名「線性代數與離散數學」，系所班別「資訊聯招」，第 2 節考，不可使用計算機，113 年起代號 8102
本頁的題型、配分、倒扣規則均直接取自各年度試卷標示；主題出現年度與重複題比對為逐題整理。若發現有誤，歡迎來信指正。