交大資工所考古題解答數學十年大統整（106–115）

各章配分

表中數字是各題的卷面配分，依主題加總。有子題的照子題分，沒有子題的整題算在主要考點，是非題組算在多數敘述所屬的主題。離散與線代分開列，各自依十年合計排序，顏色越深，占當年總分的比例越高。

章／細項	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	合計	占比	年數
Discrete Mathematics	50	50	50	50	50	50	50	50	50	50	500	50%	10
Sets, Relations & Functions	5	10	13	17	20		10	10	17	13	115	12%	9
Sets		5		4	15		5		10		39	4%	5
Relations	5	5	5		5		5		3	8	36	4%	7
Partial Orders & Lattices				9				10	4		23	2%	3
Functions			8	4						5	17	2%	3
Graph Theory	5	5	10	8	10	25	15	8	6	7	99	10%	10
Euler & Hamilton				8	2	5				7	22	2%	4
Graph Basics & Isomorphism	5	5			4				6		20	2%	4
Planar Graphs					2	5	5	8			20	2%	4
Bipartite Graphs & Matching			10			5					15	2%	2
Coloring & Independent Sets						10					10	1%	1
Trees							10				10	1%	1
Graph Algorithms					2						2	<1%	1
Logic & Proofs	15	10	17	10			5	10	15	5	87	9%	8
Propositional & Predicate Logic	15	5	17	5			5	10	15	5	77	8%	8
Proof Techniques & Induction		5		5							10	1%	2
Recurrences & Generating Functions	15	5	10	8	5	25	5			10	83	8%	8
Other Recurrences	10	5		8		25					48	5%	4
Linear Recurrence Relations	5		10							10	25	2%	3
Generating Functions					5		5				10	1%	2
Counting	10	5			10			12	12		49	5%	5
Permutations & Combinations	5	5			5			7			22	2%	4
Inclusion-Exclusion & Derangements					5			5			10	1%	2
Catalan & Stirling Numbers									8		8	<1%	1
Pigeonhole Principle	5										5	<1%	1
Integer Solutions & Distributions									4		4	<1%	1
Number Theory		10		7	5			5		5	32	3%	5
Divisibility & GCD				7	5			5			17	2%	3
Modular Arithmetic		10								5	15	2%	2
Other							15	5		10	30	3%	3
Probability		5									5	<1%	1
Linear Algebra	50	50	50	50	50	50	50	50	50	50	500	50%	10
Inner Product Spaces	11	12	15		25	17	20	8		12	120	12%	8
Orthogonal Projection & Complement	6	6			19	6	5				42	4%	5
Least Squares	5		5		6		5	8		12	41	4%	6
Gram-Schmidt & QR		6	10			11	10				37	4%	4
Eigenvalues & Diagonalization	20	6	10		20	12	10	15	4		97	10%	8
Eigenvalues & Eigenvectors	10	6			10	3		15	4		48	5%	6
Matrix Powers & Functions	10		10		10	3	10				43	4%	5
Diagonalization & Similarity						6					6	<1%	1
Matrices & Linear Systems	4	15		14			10	17		15	75	8%	6
Linear Systems & Row Reduction		10		10				6		5	31	3%	4
Matrix Algebra & Special Matrices	4			4			10			5	23	2%	4
Matrix Inverse		5						11		5	21	2%	3
Vector Spaces	10	5	12	10		8			21	5	71	7%	7
Rank & Nullity	10	5		10		8			10	5	48	5%	6
Basis, Dimension & Coordinates			10								10	1%	1
Linear Independence & Span									7		7	<1%	1
Subspaces & Direct Sums			2						4		6	<1%	2
Symmetric & Normal Matrices				6		7	10	10	10	8	51	5%	6
Positive Definite & Quadratic Forms							10	10	10		30	3%	3
SVD & Pseudo-inverse						7				8	15	2%	2
Spectral Theorem & Orthogonal Diagonalization				6							6	<1%	1
Determinants	5	5	5	5	5	6			5	10	46	5%	8
Linear Transformations		7	8	15					10		40	4%	4
Matrix Representation & Change of Basis		7		15					10		32	3%	3
Linearity, Kernel & Range			8								8	<1%	1

八校各章配分比較 →

重複出題

交大數學最值得注意的是，同一題常隔幾年原樣再出現。

題目	出現年度	重複程度
線代是非題四組（nonsingular matrix 的定義、elementary matrix、determinant 性質、linear independence）	107 第 11–14 題、115 第 1 題	同一套題幹與小項，115 每組少了第 5 個小項，部分敘述改寫
用 QR decomposition 求 least squares solution（給 A 與 b、已完成第一步）	108 第 4 題、112 第 2-1 題	完全同型
矩陣極限 lim C^k 與 matrix exponential e^C	108 第 5 題、112 第 2-2 題	同一個矩陣
Recursive definition 的寫法（給封閉式求遞迴式）	107 第 5 題、109 第 2 題	同型
Graph isomorphism 的判斷與論證	106 第 5 題、107 第 9 題、114 第 5 題	三次
邏輯式翻譯（質數、Goldbach、自然數無限、四子棋）	106 第 1 題、107 第 3 題、112 第 5 題、113 第 3(a) 題、114 第 1 題	五次
Least squares 求誤差平方和	106 第 10 題、113 第 8 題	同型（一次配直線、一次配二次）
LU／PA=LU decomposition	109 第 8 題、113 第 7 題	兩次
SVD	111 第 9 題、115 第 4 題	兩次
Gram-Schmidt 與 orthogonal basis	107、108、111、112	四次

107 與 115、108 與 112 這兩組重複度最高，可以成對練。

常考的四個題型

1. Gram-Schmidt／QR decomposition／least squares solution（十年中八年）

這是交大線代的核心。常見問法是已經做完第一步，要你接著完成 Q 與 R，再用 QR 求 least squares solution。111 年還明訂必須依行的順序處理，否則零分。

2. 邏輯式的翻譯（106、107、112、113、114）

把自然語言精確寫成 ∀、∃ 加連接詞。用過的素材有質數的分布、Goldbach 猜想、自然數的無限性、四子棋的盤面狀態。

3. Graph theory 的基本量（十年都有）

Bipartite graph 判定、Euler path/circuit 的構造、graph isomorphism 的論證、planar graph 的 Euler 公式與邊數上界、chromatic number 與 chromatic polynomial、spanning tree 計數。

4. 答錯倒扣的證明題（110、111、113、115）

年度	題目	倒扣
110	相異 eigenvalue 的 eigenvector 線性獨立	−5
111	N(A^TA) = N(A)；orthogonal matrix 的 det 為 ±1	−5／−2
113	(A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹	−5
115	‖x‖=1 下 Ax=0 的 least squares solution	−5

除了 115 年那題，其餘都是線代的基本定理。熟的話是穩拿的分數，不熟就留白。

優先準備的五個主題

Gram-Schmidt、QR、least squares solution。上表 Inner Product Spaces 一章 120 分、十年考八年，是線代分數最多的一章。
Determinant 的性質與計算。十年考八年，有是非判斷，也有大型稀疏矩陣的展開。
邏輯與述詞。十年考八年（純翻譯題有五年），離散裡最好準備的一塊。
Graph theory 的四個基本結論：Euler 公式（111 第 4 題、112 第 9-1 題）、handshaking lemma（度數總和，108 第 9 題）、planar graph 的邊數上界（113 第 6 題）、spanning tree 計數（112 第 9-2 題）。Graph Theory 一章十年都有，合計 99 分。
線代基本定理的證明（N(A^TA)=N(A)、eigenvector 線性獨立、orthogonal matrix 的 determinant）。近六年有四年考，而且有倒扣。

題型演變

年度	題數	頁數	離散／線代	倒扣
106	13	3	50 / 50	卷面沒寫
107	15	3	50 / 50	卷面沒寫
108	11	2	50 / 50	卷面沒寫
109	12	3	50 / 50	卷面沒寫
110	10	5	50 / 50	第 8、9 題答錯 −1；第 10c 答錯 −5
111	9	3	50 / 50	第 6c 答錯 −5；第 7b 答錯 −2
112	9	3	50 / 50	卷面沒寫
113	12	2	50 / 50	第 9 題答錯 −5（扣到 7、8、9 題 0 分為止）
114	9	3	50 / 50	第 6(a)–(d) 答錯 −4
115	9	3	50 / 50	第 5 題答錯 −5（扣到 3、4、5 題 0 分為止）

近六年有五年設有倒扣。

給 116 年考生的準備方向

進場先讀卷首和每個題組的計分說明。近六年有五年設倒扣，規則還不一樣，有扣 1 分、2 分、4 分、5 分的。
題目寫「不會請留白」就留白。這幾次多是線代的基本定理證明，會就寫，不會硬掰只會被倒扣。
卷面明訂「先寫答案再解釋」和「依序作答」，練習時就照這個格式。
107 與 115、108 與 112 成對練習。重複度很高，等於多準備了一份考卷。

本頁的題型、配分、倒扣規則都取自各年度試卷上的標示，各章配分與重複題是逐題比對後整理的。如果發現有誤，歡迎來信指正。

交大資工所考古題詳解數學十年大統整（106–115）