112 交大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 3 頁、9 大題、100 分，不可使用計算機。

作答規定與 106、107 年相同：先清楚寫下答案，再說明如何計算，且依序作答，不要跳題。（108–111 年卷首沒有這段話）

線性代數考點（1–2，共 50%）

• 第 1 題（25%）｜四小題獨立：
• 1-1（10%）｜判斷二次函數 f(x,y,z) = −x²−5y²−4z²−2xy−2yz−2x−4z−5 是否有最大值，有的話求 (a) f_max (b) 極大點 (x\,y\,z\*)
• 1-2（5%）｜證明：若對所有 x 都有 ‖Qx‖ = ‖x‖，則 Q 是 orthogonal matrix
• 1-3（5%）｜求 span{(1,1,1,1)^T} 中使 ‖w − c‖ 最小的向量 w
• 1-4（5%）｜證明：若方陣滿足 −S = S^T（skew-symmetric），則 S − I nonsingular
• 第 2 題（25%）｜2-1 與 2-2 兩部分：
• 2-1（15%）｜給 A 與 b，接續已完成的 Gram-Schmidt 第一步：(a) 5% 求 q₂、q₃ (b) 5% 求 R (c) 5% 用 QR 分解求 least squares 解。與 108 年第 4 題同型
• 2-2（10%）｜給 3×3 矩陣 C：(a) 5% 求 lim C^k (b) 5% 求 e^C。與 108 年第 5 題同型

離散數學考點（3–9，共 50%）

• 第 3 題（5%）｜比較 1.01¹⁰⁰ 與 2 何者較大
• 第 4 題（5%）｜x 為自然數，解 x^x = 2²⁰⁴⁸
• 第 5 題（5%）｜把「自然數有無限多個」翻譯成 first-order logic 式
• 第 6 題（5%）｜計算 Σ_k=1ⁿ² ⌊√k⌋
• 第 7 題（5%）｜F 為所有從 N 到 {0, a} 的函數所成集合，問 F 是可數還是不可數，並說明理由
• 第 8 題（10%）｜8-1 5% 給 generating function G(z)，寫出它產生的數列；8-2 5% X = {a,b,c,d}、分割 P = {{a},{b,c,d}}，問對應的 equivalence relation 有幾個有序對並全部列出
• 第 9 題（15%）｜9-1 5% connected planar graph 有 10 個頂點、每個頂點 degree 14，求面的個數；9-2 10% dumbbell graph 由 K_n 與 K_m 用一條邊連起來，求它的 spanning tree 個數

作答時要注意的地方

1. 第 1-1 配分 10 分，要先判斷最大值是否存在。
2. 第 7 題要說明可數或不可數的理由。
3. 第 9-2 配分 10 分，是這份考卷離散部分配分最高的小題。

準備方向

• QR 分解求 least squares 解、矩陣極限與 e^C：108 第 4、5 題與 112 第 2 題同型，可以一起練。
• complete graph 的 spanning tree 計數（112 第 9-2 題）。
• 可數與不可數的判斷（112 第 7 題）。
• quadratic form 的 positive definite、negative definite 與極值（112 第 1-1 題）。