112 交大資工所數學考點分析

題型與配分

科目「線性代數與離散數學（1102）」，系所班別資訊聯招，考試日期 112 年第 2 節，全卷 3 頁、9 大題、100 分，不可使用計算機。

同樣要求「先清楚寫下答案，再說明如何計算」且「依序作答，不要跳題」。

線性代數考點（1–2，共 50%）

• 第 1 題（25%）｜四小題獨立：
• 1-1（10%）｜判斷二次函數 f(x,y,z) = −x²−5y²−4z²−2xy−2yz−2x−4z−5 是否有最大值，有的話求 (a) f_max (b) 極大點 (x\,y\,z\*)。要用二次型的負定判斷＋求梯度零點
• 1-2（5%）｜證明：若對所有 x 都有 ‖Qx‖ = ‖x‖，則 Q 是正交矩陣
• 1-3（5%）｜求 span{(1,1,1,1)^T} 中使 ‖w − c‖ 最小的向量 w（正交投影）
• 1-4（5%）｜證明：若方陣滿足 −S = S^T（反對稱），則 S − I 非奇異
• 第 2 題（25%）｜
• 2-1（15%）｜給 A 與 b，接續已完成的 Gram-Schmidt 第一步：(a) 5% 求 q₂、q₃ (b) 5% 求 R (c) 5% 用 QR 分解求最小平方解。與 108 年第 4 題完全同型
• 2-2（10%）｜給 3×3 矩陣 C：(a) 5% 求 lim C^k (b) 5% 求 e^C。與 108 年第 5 題完全同型

離散數學考點（3–9，共 50%）

• 第 3 題（5%）｜比較 1.01¹⁰⁰ 與 2 何者較大（用 (1+x)ⁿ ≥ 1+nx 或二項式展開）
• 第 4 題（5%）｜x 為自然數，解 x^x = 2²⁰⁴⁸（x = 2⁸ = 256）
• 第 5 題（5%）｜把「自然數有無限多個」翻譯成一階邏輯式
• 第 6 題（5%）｜一個級數／組合式的計算
• 第 7 題（5%）｜F 為所有從 N 到 {0, a} 的函數所成集合，問 F 是可數還是不可數，並說明理由（不可數，與 2^N 等勢）
• 第 8 題（10%）｜8-1 5% 給生成函數 G(z)，寫出它產生的數列；8-2 5% X = {a,b,c,d}、分割 P = {{a},{b,c,d}}，問對應的等價關係有幾個有序對並全部列出（1 + 9 = 10 個）
• 第 9 題（15%）｜9-1 5% 連通平面圖有 10 個頂點、每個頂點度數 14，求面的個數（用 Euler 公式）；9-2 10% 啞鈴圖（dumbbell graph）由 K_n 與 K_m 用一條邊連起來，求它的生成樹個數（用 Cayley 公式 nⁿ⁻² · m^m−2 · 1）

這份考卷的難點

1. 第 1-1 的二次型最大值（10 分）要先判斷矩陣是否負定（用主子式），再解 ∇f = 0，計算量不小。
2. 第 9-2 的啞鈴圖生成樹要看出「橋邊必在每棵生成樹中」，所以答案是兩個完全圖生成樹數的乘積（Cayley 公式）。
3. 第 7 題的可數性論證要用對角線論證或與 2^N 的雙射，不能只說「看起來很多」。
4. 第 4 題的 x^x = 2²⁰⁴⁸：要看出 x 必為 2 的冪，設 x = 2^k 得 2^k · k = 2048 = 2¹¹，所以 k = 8。

準備建議

• 112 年的線代兩大題與 108 年幾乎完全相同（QR 分解求最小平方解、矩陣極限與 e^C），交大數學的重複率很高，108 與 112 建議成對練習
• Cayley 公式（nⁿ⁻²）與生成樹計數是離散圖論的重點，112 第 9-2 直接考
• 可數與不可數的判斷（112 第 7 題）要會對角線論證
• 二次型的正定／負定判斷（112 第 1-1 題）與極值求法是線代與微積分的交界，交大偏好這類題