113 交大資工所數學考點分析｜國立陽明交通大學

第 1 題是中文的醫生護士邏輯推理謎題，離散部分還考了 Goldbach 猜想的邏輯翻譯與 Hasse 圖的拓撲排序計數。

題型與配分

科目「線性代數與離散數學（8102）」，系所班別資訊聯招，考試日期 113 年第 2 節，全卷 3 頁、12 題、100 分，不可使用計算機。

區段	題號	配分
離散數學	1–6	50%
線性代數	7–12	50%

第 1 題（5%）｜中文的邏輯推理謎題：醫院共 16 名醫生與護士，滿足四個條件（護士多於醫生、男醫生多於男護士、男護士多於女護士、至少一位女醫生），且把說話者排除後四條仍成立，問說話者的性別與職務。這是十年來唯一一次用中文出的推理題
第 2 題（10%）｜(a) 5% 非遞減數列中 k 恰出現 k² 次，f(n) 定義為使 a_m = n 的最大 m，求 f(f(n)) (b) 5% 求所有滿足 √a + √b = √2009 的非負整數 a、b
第 3 題（10%）｜(a) 5% 把 Goldbach 猜想（每個大於 2 的偶數都是兩個質數之和）翻譯成邏輯式，只能用 ∀、∃、∧、∨、¬、→、↔ 與四則運算（除法是整數除法） (b) 5% 長度 10 的位元串中，含有五個連續 1 或五個連續 0 的有幾個（排容原理）
第 4 題（11%）｜格子圖上只能往右或往上走：(a) 3% 從 m 到 n 的路徑數 (b) 4% 不經過頂點 x 的路徑數 (c) 4% 定義關係 R 為「一步可達」，問 (P,R) 是否為偏序集並說明理由
第 5 題（6%）｜對兩個 Hasse 圖做拓撲排序，各能得到幾種不同結果
第 6 題（8%）｜已知「連通平面簡單圖滿足 e ≤ 3v − 6」，用這個定理證明連通平面簡單圖（v ≥ 3）必有一個度數不超過 5 的頂點

第 7 題（12%）｜(a) 6% 求 4×4 矩陣的 A⁻¹ (b) 6% 求 PA = LU 分解（P 為排列矩陣、L 為單位下三角、U 為上三角）
第 8 題（8%）｜給四個點 (0,20)、(1,0)、(2,0)、(3,0)，用最小平方法配二次多項式 b = C + Dt + Et²，求誤差平方和 ‖e‖²
第 9 題（5%）｜證明：A 可逆時 (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹。「不會寫請留白，答錯最多倒扣 5 分，扣至 7、8、9 題 0 分為止」
第 10 題（15%）｜(a) 5% 求 A 的特徵值 (b) 5% 求對應的特徵向量 (c) 5% 求 B = P⁻²A³A 的特徵值
第 11 題（5%）｜給矩陣 C = LL^T，求下三角矩陣 L（Cholesky 分解）
第 12 題（5%）｜給 D = FᴴF，求 Hermitian 矩陣 F

第 1 題的中文推理謎題要設未知數列出四個不等式，再加上「排除說話者後仍成立」的條件 —— 需要系統性枚舉。
第 6 題要「用給定的定理」證明，不能自己另外造論證。標準解是反證：若每個頂點度數 ≥ 6，則 2e ≥ 6v，與 e ≤ 3v−6 矛盾。
第 9 題的證明有倒扣，且會扣到第 7、8、9 題整組 0 分 —— 雖然證明本身不難（(A⁻¹)^TA^T = (AA⁻¹)^T = I），但風險設計很嚴。
第 11、12 題的 Cholesky 與 Hermitian 分解要逆推出分解因子，計算細節多。