113 中正資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、9 大題、100 分。答案寫在試卷（答案卷）作答區內，限用藍色或黑色筆（含鉛筆），試題須隨試卷繳還。入場後 40 分鐘內不得離場。卷面沒有倒扣規定。

線性代數考點（1–5，50%）

• 第 1 題（10%，可複選）｜u、v、w 為 R³ 中起點相同的非零向量，u·(v×w) = −4。判斷五個敘述：(a) v·(u×w) 的值、(b) v·(w×w) 的值、(c) u×(v×w) 是否落在 v 與 w 決定的平面上、(d) (u×v)×w 是否落在 u 與 v 決定的平面上、(e) (u×v)×w 與 u×(v×w) 是否相同
• 第 2 題（10%，可複選）｜哪些是 R³ 的 subspace：(a) (a,0,0)、(b) (a,1,0)、(c) (a,b,c) 且 b = a+c、(d) (a,b,c) 且 c = a−b、(e) (a,−a,0)
• 第 3 題（10%，單選）｜u = (1,3,5,7,9)^T、v = (11,13,15,17,19)^T，選項 1 到 5，問 uv^T 的 rank
• 第 4 題（10%，可複選）｜給 4×4 lower triangular matrix A，對角線依序為 2、−1、0.5、0，選項為 1、−1、2、64、128，問哪些是 A⁷ 的 eigenvalue
• 第 5 題（10%）｜在 R² 中以 inner product u·v = (1/4)u₁v₁ + (1/16)u₂v₂ 畫出單位圓

離散數學考點（6–9，50%）

• 第 6 題（10%）｜predicate logic 翻譯：x 的 domain of discourse 是所有人，y 的 domain of discourse 是所有電影，S(x,y)「x 看過 y」、L(x,y)「x 喜歡 y」、A(y)「y 得獎」、C(y)「y 是喜劇」。把下列五句話寫成 predicate 式，每句 2 分
• 第 6(a) 題｜沒有喜劇得獎
• 第 6(b) 題｜Lois 看了《北非諜影》但不喜歡
• 第 6(c) 題｜有些人看過每一部喜劇
• 第 6(d) 題｜沒有人喜歡他看過的每一部電影
• 第 6(e) 題｜Ben 從沒看過得獎的電影
• 第 7 題（10%）｜T 型骨牌（T-omino，由四個方格組成）：證明任意 2ⁿ × 2ⁿ（n > 1）的棋盤都可以用 T-omino 鋪滿
• 第 8 題（10%）｜給一張八個頂點（a–h）的圖，判斷是否為 planar graph，要附上證明或理由
• 第 9 題（20%）｜圖論填空，十格每格 2 分
• 第 9(a) 題｜999 個頂點的樹有幾條邊
• 第 9(b) 題｜4 個頂點的 non-isomorphic rooted tree 有幾棵
• 第 9(c) 題｜把 3n − (k+5) 寫成 prefix notation
• 第 9(d) 題｜cycle graph C₇ 有幾個 spanning tree
• 第 9(e) 題｜四維 hypercube Q₄ 每條邊權重為 1，minimum spanning tree 的成本
• 第 9(f) 題｜101 個頂點的 full binary tree，最小高度
• 第 9(g) 題｜有 50 片葉的 full binary tree 有幾個頂點
• 第 9(h) 題｜輪圖 W_n 的 incidence matrix 有幾列幾行
• 第 9(i) 題｜列出所有使 K_n 有 Euler circuit 的正整數 n
• 第 9(j) 題｜列出所有使 K_m,n 有 Hamilton path 但沒有 Hamilton circuit 的正整數 m、n

作答時要注意的地方

1. 第 1、2、4 題卷面註明可能有多個答案，第 3 題是單選。全卷沒有倒扣規定。
2. 第 5 題的 inner product 是 u₁v₁ 與 u₂v₂ 各帶一個係數的形式。
3. 第 9 題十格都是填空，每格 2 分。
4. 第 6 題指定用題目給的 S、L、A、C 四個 predicate 加上需要的 quantifier 作答。

準備方向

• 用 uv^T 判斷 rank（113 第 3 題），triangular matrix 的 eigenvalue 與 A⁷ 的 eigenvalue（113 第 4 題）。
• triple product 與 cross product 的性質（113 第 1 題），107 第 2 題也給 u·(v × w) = −4 求其他 triple product；111 第 2 題要求找與兩向量都 orthogonal 的向量，用的是 cross product。
• 以修改過的 inner product 畫單位圓（113 第 5 題），抽象 vector space 的 inner product 111 第 5 題、112 第 1(i) 題、115 第 6 題也有。
• predicate logic 翻譯（113 第 6 題），真假判斷在 110、112、114，形式證明在 107 第 5 題、115 第 8 題。
• induction 證明（113 第 7 題），107 第 6 題、115 第 11 題也要求用 induction。
• planar graph 判定（113 第 8 題）。
• 圖論小公式：樹的邊數、rooted tree 枚舉（111 第 10(b) 題也有）、prefix notation、spanning tree 個數、hypercube（109 第 6 題也有 Q₄）、full binary tree、Euler 與 Hamilton 的存在條件（113 第 9 題）。