112 台大資工所考古題解答｜數學考點分析

離散與線代各 50%，全卷 11 題，用 2B 鉛筆劃答案卡。第 6 到 11 題明訂可能有多個答案，全對才給分。

題型與配分

全卷 2 頁、11 題、100 分。

作答方式：「請用 2B 鉛筆作答於答案卡，並先詳閱答案卡上之『畫記說明』」。台大數學 106–115 只有這一年用答案卡。

第 6 到 11 題另有明訂：「each problem may have multiple answers. Credits will be given only if all the answers are selected correctly.」

區段	題號	配分
離散數學	1–5	50%（每題 10 分）
線性代數	6–11	50%（全對才給分）

第 1 題｜五個圖中哪一個沒有 Hamiltonian cycle（111 年第 1 題考的是 Eulerian）
第 2 題｜recurrence a_n = −a_n−1 + 6a_n−2 以 a₀ = A、a₁ = B 表示的解
第 3 題｜recurrence a_n = a_n−1 + 6a_n−2（與第 2 題的 a_n−1 項正負相反）以 a₀ = A、a₁ = B 表示的 partial fraction 分解 generating function
第 4 題｜x₁ + x₂ + x₃ + x₄ ≤ 7 的非負整數解個數
第 5 題｜|A| = 2⁴、|B| = 2³ 時，從 A 到 B 的函數個數

第 6 題（10%）｜給 2×2 矩陣 A 與向量 x，Aⁿx 在 n → ∞ 時趨近 (a, b)，求 2a + b
第 7 題（10%）｜給 P₂(R) 上的 linear transformation T，M 為其在某組 basis 下的矩陣表示，求 det(M⁻¹ + 2I)
第 8 題（10%）｜trace 的性質：tr((A+B)C) 的分配性、tr(AB) 與 tr(A)tr(B)、tr(AB) 與 tr(BA)、trace 為零的 2×2 矩陣何時有實 eigenvalue、A³ = I 且 A ≠ I 時 tr(A) 的值
第 9 題（5%）｜symmetric matrix S、diagonal matrix D、orthogonal matrix Q 的自由度（degree of freedom）d_S、d_D、d_Q，求 d_S − d_Q − d_D
第 10 題（5%）｜五個敘述：N(A) 與 N(A^TA) 的關係、A orthogonal 時 A+I 是否可逆、相異 eigenvalue 少於 n 是否就不 diagonalizable、實 symmetric matrix 的 eigenvalue 與 eigenvector 性質、positive definite 矩陣能否寫成 U² 的形式
第 11 題（10%）｜self-adjoint operator 的 spectral decomposition 定理：T 有相異 eigenvalue λ₁…λ_k，E_i 為 eigenspace、T_i 為 V 到 E_i 的 orthogonal projection，判斷五個敘述：Σλ_i T_i 與 T 的關係、V 與各 E_i 的 direct sum 關係、任意多項式 g 的 g(T) 的分解、eigenvalue 是否全為實數、T(x) = λx 是否蘊含 diagonalizable

spectral decomposition 定理與 self-adjoint、normal operator 的性質，在 108、112 都考。
trace 的性質，哪些成立、哪些不成立要分清楚。
111 與 112 的離散題互相對應：111 考 Eulerian、112 考 Hamiltonian，111 考正整數解、112 考 ≤ 7 的非負整數解，兩年可以放在一起練。
複選題每個選項都要有把握。