台大資工所考古題解答數學十年大統整（106–115）

各章配分

表中數字是各題的卷面配分，依主題加總。有子題的照子題分，沒有子題的整題算在主要考點，敘述判斷題算在多數敘述所屬的主題。離散與線代分開列，各自依十年合計排序，顏色越深，占當年總分的比例越高。110 年第 5 題的 group theory 算在離散。

章／細項	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	合計	占比	年數
Linear Algebra	50	50	50	50	50	50	50	50	50	50	500	50%	10
Eigenvalues & Diagonalization	10	10		20	20	25	10	10	10	10	125	12%	9
Cayley-Hamilton & Minimal Polynomial		10			10			10			30	3%	3
Eigenvalues & Eigenvectors				10		10			10		30	3%	3
Matrix Powers & Functions						10	10			10	30	3%	3
Diagonalization & Similarity	10				10	5					25	2%	3
Jordan Form				10							10	1%	1
Matrices & Linear Systems	10	10	10	10	10	10	10	10		10	90	9%	9
Matrix Algebra & Special Matrices		10			10	5	10				35	4%	4
Linear Systems & Row Reduction				10				10		10	30	3%	3
Matrix Inverse	10		10			5					25	2%	3
Inner Product Spaces	10	20						20	20	10	80	8%	5
Orthogonal Projection & Complement	10							10	10		30	3%	3
Inner Products & Norms		10							10		20	2%	2
Least Squares								10		10	20	2%	2
Gram-Schmidt & QR		10									10	1%	1
Symmetric & Normal Matrices	20		10	10			20	10			70	7%	5
SVD & Pseudo-inverse	10			10				10			30	3%	3
Spectral Theorem & Orthogonal Diagonalization			10				20				30	3%	2
Positive Definite & Quadratic Forms	10										10	1%	1
Vector Spaces			20		10	15			10		55	6%	4
Basis, Dimension & Coordinates			10			5					15	2%	2
Rank & Nullity			10		5						15	2%	2
Subspaces & Direct Sums					5	10					15	2%	2
Linear Independence & Span									10		10	1%	1
Determinants		10			10				10		30	3%	3
Linear Transformations			10	10			10				30	3%	3
Matrix Representation & Change of Basis				10			10				20	2%	2
Linearity, Kernel & Range			10								10	1%	1
Other										20	20	2%	1
Discrete Mathematics	50	50	50	50	50	50	50	50	50	50	500	50%	10
Recurrences & Generating Functions	10	20	10	25	10	20	20	10	20	20	165	16%	10
Linear Recurrence Relations	10	10	10	10		10	10	10	10	10	90	9%	9
Generating Functions		10		15		10	10		10	10	65	6%	6
Other Recurrences					10						10	1%	1
Counting	5	10	30	10	20	10	10		10	20	125	12%	9
Integer Solutions & Distributions		10	10	10		10	10		10	10	70	7%	7
Binomial Identities	5		15		10						30	3%	3
Permutations & Combinations			5							10	15	2%	2
Catalan & Stirling Numbers					10						10	1%	1
Sets, Relations & Functions	15	10		5		10	10	10	10	10	80	8%	8
Relations	15	10				10			10		45	4%	4
Functions				5			10	10		10	35	4%	4
Graph Theory	5	10	5		10	10	10	10	5		65	6%	8
Euler & Hamilton						10	10	2	5		27	3%	4
Bipartite Graphs & Matching	5				10						15	2%	2
Coloring & Independent Sets			5					8			13	1%	2
Graph Basics & Isomorphism		10									10	1%	1
Logic & Proofs	10		5	10				10	5		40	4%	5
Propositional & Predicate Logic	10		5					10	5		30	3%	4
Proof Techniques & Induction				10							10	1%	1
Number Theory	5							10			15	2%	2
Modular Arithmetic								10			10	1%	1
Divisibility & GCD	5										5	<1%	1
Algebraic Structures					10						10	1%	1
Groups					10						10	1%	1

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反覆出現的五個題型

以下五類十年裡都至少出現了五次。

1. Recurrence 求解（十年每年都有）

年度	Recurrence	類型
106	a_n+2 = a_n+1 + a_n	Fibonacci
107	a_n = 2a_n−1 + 3a_n−2	二階齊次
108	a_n+2 = a_n+1 + 2a_n	二階齊次
109	a_n = 3a_n−1 + n	非齊次
110	a_n = 3a_n/2 + 1	divide-and-conquer 型
111	a_n = a_n−1 + 6a_n−2	二階齊次
112	a_n = −a_n−1 + 6a_n−2	二階齊次
113	a_n = −a_n−1 + 12a_n−2	二階齊次
114	a_n = −3a_n−1 + 10a_n−2	二階齊次
115	a_n = 6a_n−1 − 11a_n−2 + 6a_n−3	三階齊次

大部分是二階常係數齊次 recurrence，常要求用任意初始條件 a₀、a₁ 表示係數。

2. Partial fraction decomposition 的 generating function（109、111、112、114、115）

都接在 recurrence 那題之後。111、112 年這題的 recurrence 與前一題的 a_n−1 項正負相反，不是同一條，題目上要看清楚。109 年還特別註明 (x−8)/(x−3)² 這種不算 partial fraction decomposition。

3. 方程式的整數解個數（107、108、109、111、112、114、115）

出過的變化有非負整數解、正整數解、帶上下界，以及不等式（109 年是 < r，112、114、115 年是 ≤ r）。112 年第 4 題（五選一）和 114 年第 6 題（填空）問的是同一件事：x₁+x₂+x₃+x₄ ≤ 7 的非負整數解個數。115 年第 5 題是 x₁+⋯+x₁₂ ≤ 6 的非負整數解個數再取 mod 11。

4. Relation 與 function 的計數（106、107、109、111、112、113、114、115）

106：既不 reflexive 也不 irreflexive 的 relation 數
107：reflexive 且 symmetric 的 relation 數
109：function 個數
111：non-symmetric 的 relation 數
112：function 個數
113、114、115：function 個數或 binary relation 個數，再取 mod p

集合 A 有 m 個元素時，reflexive、symmetric 這些 relation 的個數公式，以及各種組合，要背熟。

5. 線代的敘述判斷題（107、108、110、111、112）

問法有兩種：

選出所有正確的敘述，全部選對才給分（107、110、112）
數有幾個敘述正確，108 年是三題各五個敘述，111 年是兩題各四個敘述

114 年第 7 題問哪些集合 linearly independent，也是全對才給分。常出現的觀念有 similar matrices 的不變量、trace 的性質、diagonalizable 的充分條件、orthogonal matrix 的性質。

優先準備的五個主題

1–3 是上表十年合計最高的三章。

Recurrences & Generating Functions，165 分，十年每年都有。Linear recurrence 考了九年（110 年是 divide-and-conquer 型），109、111、112、114、115 年後面接 partial fraction decomposition 的 generating function。
Counting，125 分，十年考九年。整數解個數考了七年，非負、正整數、帶上下界、不等式四種變形都要會。Binomial identity 在 106、108、110 出現。
Eigenvalues & Diagonalization，125 分，十年考九年。Cayley-Hamilton 與 minimal polynomial（107、110、113）、矩陣的冪與多項式（111、112、115）、eigenvalue（109、111、114）各三年，109 年考 Jordan form。
Relation 與 function 的計數，十年考八年。106、107、111、114 是 relation，109、112、113、115 是 function，113–115 都要再取 mod p。
Pseudo-inverse 與 least squares。SVD & Pseudo-inverse 在 106、109、113 各 10 分，Least Squares 在 113、115 各 10 分。115 年考的是 minimum-norm least-squares solution。

題型演變

年度	題數	頁數	作答形式	離散／線代
106	12	3	一般作答	50 / 50
107	10	1	一般作答	50 / 50
108	12	3	自繪 12 列表格	50 / 50
109	11	3	非選擇題作答區	50 / 50
110	10	2	自繪表格	40 / 50（另有 group theory 10）
111	12	2	全單選	50 / 50
112	11	2	2B 鉛筆答案卡	50 / 50
113	10	2	填入試卷表格	50 / 50
114	10	2	自繪表格	50 / 50
115	10	2	自繪表格	50 / 50

近三年（113–115）都是 10 題。113 年每題 10 分，答案填進試卷上附的表格。114 年各題 5、10 或 20 分，自繪表格。115 年每題 10 分，自繪表格。

給 116 年考生的準備方向

練習時照近三年的格式作答：10 題，答案填進表格。113 年的表格印在試卷上，114、115 年要自己畫。
近三年答案都填在表格裡，卷面沒有要求寫過程。115 年另外寫明答案需化至最簡，未以最簡分數表示不予給分。
113、115 年離散在第 1–5 題，線代在第 6–10 題。114 年離散是第 1–6 題，線代是第 7–10 題，其中第 8 題佔 20 分。
只出現過一次的主題有 110 的 group theory、111 的矩陣立方根、113 的 finite field、115 的 nuclear norm 與 relative smoothness。先把前面的基本題做完，再看這些。

本頁的題型、配分、作答形式都取自各年度試卷上的標示，各章配分是逐題分類後加總的。如果發現有誤，歡迎來信指正。

台大資工所考古題詳解數學十年大統整（106–115）