115 台大資工所數學考點分析

題型與配分

科目「數學(A)」（題號 277、節次 4），全卷僅 2 頁、10 題，每題 10 分。

作答方式特別：要先在試卷第一頁自行繪製答案表格，再把答案填入。題目明訂「答案需化至最簡（分數請有理化或化為最簡分數），未以最簡分數表示不予給分」—— 算對但沒化簡一樣拿不到分。

全卷只填答案、不寫推導過程，沒有部分分數。

逐題考點

離散數學（1–5）

• 第 1 題｜2D random walk — 從 (0,0) 出發，每步可走四個斜向或原地不動，問 n 步後可能狀態數。關鍵在看出座標的奇偶不變量並換座標
• 第 2 題｜函數計數 + 模運算 — A 為 {1..5}→{1..6} 的所有函數所成集合，N 為 A→{1..9} 的函數個數，求 N mod 11。會出現指數塔，需要費馬小定理
• 第 3 題｜三階線性遞迴 a_n = 6a_n−1 − 11a_n−2 + 6a_n−3 的通解 — 特徵方程
• 第 4 題｜承上題，寫出生成函數的部分分式分解
• 第 5 題｜x₁+⋯+x₁₂ ≤ 6 的非負整數解個數再取 mod 11 — slack variable 轉等式後用重複組合

線性代數（6–8）

• 第 6 題｜三元齊次線性系統有非零解的 λ 條件 — 行列式為零
• 第 7 題｜A = [[4,3],[1,2]]，求 A²⁰⁰⁴ 四個元素和除以 5²⁰⁰⁴ — 對角化／特徵值
• 第 8 題｜minimum-norm least-squares solution — 矩陣不滿秩時的偽逆（pseudoinverse）

最佳化與矩陣分析（9–10）

• 第 9 題｜給定半正定矩陣 A，在 nuclear norm 受限（‖X‖\* ≤ c）下最小化 trace(AX)，問最佳解 X。需要 nuclear norm 的對偶性質
• 第 10 題｜relative smoothness — f 相對於 g 為 L-smooth 的定義（∇²(Lg − f) 半正定），求在給定單純形上最小的 L

這份考卷的難點

1. 只有 2 頁、10 題，但含金量極高。 沒有過程分，算錯一步整題歸零。
2. 第 9、10 題超出傳統資工所數學範圍，屬於凸優化／機器學習理論（nuclear norm、Bregman divergence 相關）。這是台大近年的明顯特色，把 ML 理論帶進數學考科。
3. 時間分配是關鍵。 第 1–8 題是可以穩拿的範圍，建議先全部掃完再回頭處理 9、10。
4. 化簡規定要特別注意，題目明寫未化至最簡不予給分。

題目瑕疵：第 3 題的初始條件印為「a₀ = 1, a₁ = 2, and a₁ = 2」，a₁ 出現兩次，依上下文第二個應為 a₂。作答時需自行判讀。

準備建議

• 台大數學近年穩定考「離散數學 + 線性代數 + 最佳化」三塊，最後兩題幾乎每年都會出現超綱的進階內容 —— 策略上應該是先確保前八題全對，而不是硬啃最後兩題
• 模運算搭配大指數（費馬小定理、歐拉定理）在台大出現頻率很高，第 2、5 兩題都用到
• 矩陣冪次、偽逆、半正定矩陣是線代必守範圍
• 若行有餘力，凸優化中的 nuclear norm、relative smoothness 值得補一下觀念，這兩年都有出現