115 師大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、7 大題、100 分，申論題，卷面沒寫倒扣。卷面注意事項是「請依序在答案卷上作答，並標明題號，不必抄題」與「答案必須寫在指定作答區內，否則依規定扣分」。卷首有 Some notations，定義 column vector、linear operator 與 orthogonal complement S⊥。第 5–7 題前面註明圖都是簡單 undirected graph。

線性代數考點（1–4，50%）

• 第 1(a) 題（8%）｜矩陣 A 的 reduced row echelon form 為 R = [[1, −1, 0, −2, 0, 2], [0, 0, 1, 3, 0, −4], [0, 0, 0, 0, 1, 1]]，A 的第 2、4、6 行分別是 a₂ = (−1, 0, −1)^T、a₄ = (1, 6, −2)^T、a₆ = (−1, −7, 3)^T，求 A
• 第 1(b) 題（8%）｜R³ 上的 linear operator T(x₁, x₂, x₃) = (c·x₁, 2x₁ − 3x₂ + 2x₃, −3x₁ − x₃)，c 為某純量，求所有使 T 不 diagonalizable 的 c
• 第 2 題（11%）｜題目先給出 QR 分解的定義（A 是行 linearly independent 的 m×n 矩陣，Q 是 m×n 且 column vector 構成 R^m 中的 orthonormal set，R 是 n×n upper triangular matrix），A = [[1, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 1]]，求 QR 分解中的 Q 與 R
• 第 3 題（11%）｜W 是 R³ 中 x₁ + x₂ − x₃ = 0 與 x₁ − x₂ + 3x₃ = 0 的解集合，u = (1, 2, −1)^T，求唯一的 w ∈ W 與 z ∈ W⊥ 使 u = w + z
• 第 4 題（12%）｜找 R³ 上的 orthogonal 算子 T 使 T(v) = w，其中 v = (1/√10)(3, 1, 0)^T、w = (1/√5)(0, −2, 1)^T

離散數學考點（5–7，50%）

• 第 5 題（5%）｜寫出定義：兩個圖 G 與 H isomorphic，若 ______
• 第 6 題（30%）｜圖 G 的 complement graph H 滿足 V(G) = V(H)，且 u、v 在 G 中相鄰若且唯若在 H 中不相鄰；G 與其 complement graph isomorphic 時稱 G 為 self-complementary
• 第 6(i) 題（10%）｜證明或反證：每個 self-complementary 圖都是 connected
• 第 6(ii) 題（20%）｜畫出所有 5 個頂點的 self-complementary 圖，並論證正確性。題目附註：列出所有合理的 degree sequence 會有幫助
• 第 7 題（15%）｜求 congruence equation 組 x ≡ 59 (mod 314)、x ≡ 97 (mod 159)、x ≡ 32 (mod 263) 的一個特解。題目說明已知 x = 6549784 是 x ≡ 58 (mod 314)、x ≡ 97 (mod 159)、x ≡ 32 (mod 263) 的解，答案可以用算式（允許加、減、乘與整數）表示

作答時要注意的地方

1. 全卷申論題，卷面沒寫倒扣。
2. 第 1(a) 只給 A 的第 2、4、6 行，A 有 6 行。
3. 第 5 題只要寫出圖 isomorphism 的定義。
4. 第 6(ii) 要求畫出所有 5 個頂點的 self-complementary 圖，並論證正確性。
5. 第 7 題允許用算式表示答案，不必化成最終數字。
6. 第 4 題的 v、w 與 106 年第 5 題相同。

準備方向

• RREF、rank 與四大 subspace：115 第 1(a) 題；106 第 1、2 題、107 第 1 題、108 第 1 題、109 第 2 題、110 第 2 題、111 第 6 題、112 第 1 題、113 第 1 題、114 第 1 題也有。
• eigenvalue、diagonalization 與 eigenspace：115 第 1(b) 題；106 第 4 題、107 第 3、5 題、108 第 3 題、109 第 3、5 題、111 第 9 題、112 第 4 題、113 第 2(b)、4 題、114 第 2、5 題也有。
• Gram-Schmidt 與 QR 分解：115 第 2 題；107 第 4 題也有。
• orthogonal projection、reflection 與最近向量：115 第 3 題；108 第 4 題、109 第 4 題、110 第 3、4 題、111 第 10 題、112 第 5 題、113 第 3 題、114 第 4 題也有。
• orthogonal 算子的構造：115 第 4 題；106 第 5 題、108 第 5 題、110 第 5 題也有。
• 圖論：115 第 5、6 題；106 第 7(4) 題、107 第 6(d) 題、108 第 6(4)、8(4) 題、109 第 9(1) 題、110 第 8(2) 題、111 第 5 題、112 第 9 題、113 第 5 題、114 第 6、7 題也有。
• congruence 與數論：115 第 7 題；106 第 7(2)(3)、10 題、107 第 10 題、108 第 8(1)、12(1) 題、109 第 10 題、111 第 4(2) 題、112 第 7 題、113 第 7 題、114 第 8 題也有。