115 中正資工所數學考點分析

題型與配分

系所組別「資訊工程學系」（首次不分甲組、乙組，與 115 年軟體設計一致），科目名稱：數學，第 2 節考，本科目共 2 頁、11 大題、100 分。

申論卷、寫在答案卷上、無倒扣、限藍黑筆。

115 年是中正八年來「證明題」比重最高的一份：第 1、2、4、6、8、10、11 題全部要求 prove／disprove／explain your reasoning，純計算題只剩第 3、5、7 題。

線性代數考點（1–7，50%）

• 第 1 題（5%）｜證明或反證「A 與 I 列等價」：給定一個 4×4 下三角矩陣（對角線非零），要判斷它是否可經列運算化為單位矩陣。關鍵：對角線元素全部非零 ⇒ 可逆 ⇒ 與 I 列等價
• 第 2 題（5%）｜幾何直覺題：兩個不重疊的球 P、Q，是否存在可逆的線性變換 T : R³ → R³ 使它們的像重疊？要簡述理由——可逆線性變換是雙射，不會把不相交的集合映成相交的集合
• 第 3 題（10%）｜判斷多項式是否在生成空間中：p = 1 + x + x² + x³ 是否屬於 span{p₁, p₂, p₃}。把四個多項式寫成係數向量後解線性方程組
• 第 4 題（5%）｜對稱矩陣是否存在：是否存在 3×3 對稱矩陣，特徵值為 −1、3、7，對應特徵向量為 v₁ = [0,1,−1]^T、v₂ = [2,0,0]^T、v₃ = [−3,2,−2]^T？要說明理由——實對稱矩陣的相異特徵值對應的特徵向量必須兩兩正交，檢查 v₁·v₃ = 0+2+2 = 4 ≠ 0 ⇒ 不存在。與 108 第 4 題（給正交的特徵向量、求矩陣）正好是正反兩面
• 第 5 題（5%）｜由解集合反推矩陣：已知 Ax = b 的通解形式
• (1) 1%：A 的 row space 維度（= rank，由自由變數個數反推）
• (2) 4%：求 A
• 第 6 題（10%）｜驗證三個候選是否為內積（要 prove 或 disprove）
• (1) 3%：⟨(a,b),(c,d)⟩ = ac − bd 在 R² 上——不是，違反正定性（取 (0,1) 得 −1 < 0）
• (2) 3%：⟨A,B⟩ = tr(A + B) 在 2×2 實矩陣空間上——不是，違反線性性與正定性（tr(A+A) = 2tr(A) 可為負）
• (3) 4%：⟨f,g⟩ = ∫ f′g dx 在多項式空間上——不是，不對稱（⟨f,g⟩ ≠ ⟨g,f⟩）
• 第 7 題（10%）｜由 A^TA 的正交對角化求 SVD：已知 A^TA = QDQ^T，D = diag(144, 9, 0)、Q 已給
• (1) 8%：求 A 的 reduced SVD（奇異值 = √144 = 12 與 √9 = 3，u_i = Av_i/σ_i）
• (2) 2%：求 rank-1 近似 σ₁u₁v₁^T

離散數學考點（8–11，50%）

• 第 8 題（15%）｜用推論規則建構形式證明：前提是「這門課有一個學生沒讀過那本書」與「這門課每個人都通過了第一次考試」，結論是「有人通過了第一次考試但沒讀過那本書」
• (1) 5%：把前提與結論翻譯成符號式（用 C(x)、B(x)、P(x)）
• (2) 10%：逐步建構論證，每一步都要寫出所用的推論規則（existential instantiation → universal instantiation → conjunction → existential generalization）
• 第 9 題（15%）｜Catalan 數
• (1) 5%：四個數 x₀·x₁·x₂·x₃ 的加括號方式有幾種並全部列出（5 種）
• (2) 10%：求 C_n（n+1 個數加括號的方法數）的遞迴關係與初始條件（C_n = Σ_k=0ⁿ⁻¹ C_k C_n−1−k、C₀ = 1）
• 第 10 題（10%）｜證明「每個無限集都含有可數無限子集」：標準做法是逐一取元素 a₁, a₂, … （每次從剩下的無限集中取，因為無限集減去有限集仍非空），得到一個與 N 等勢的子集
• 第 11 題（10%）｜用數學歸納法證明鄰接矩陣的冪次：圖 G 的鄰接矩陣為 A，證明 v_i 到 v_j 長度為 r 的路徑數 = A^r 的 (i,j) 元素。歸納步驟的關鍵是矩陣乘法的定義：A^r+1 的 (i,j) 項 = Σ_k (A^r)_ik · a_kj

這份考卷的難點

1. 第 6 題要「證明或反證三個內積」，必須完整記得內積的三條公設：對稱性、對第一變數的線性、正定性。三個小題各違反不同的公設，要能指出是哪一條、用哪個具體反例——只寫「不是內積」拿不到分。
2. 第 8 題要求每一步標註推論規則名稱（Existential Instantiation、Universal Instantiation、Simplification、Conjunction、Existential Generalization）。這是 Rosen 1.6 節的內容，沒背過規則名稱就無法作答，而且佔 15 分。
3. 第 4 題的正交性檢查是最快的解法，但要先想到「實對稱矩陣的相異特徵值 ⇒ 特徵向量正交」這條定理。如果硬去解 A = PDP⁻¹ 會發現算不出對稱矩陣，但很花時間。
4. 第 9(2) 的 Catalan 遞迴要能說明「最後一個乘號的位置把 n+1 個數切成左右兩段」，光寫出公式沒有推導過程會扣分。

準備建議

• 內積的三條公設（115 第 6 題）要能逐條舉反例，這是抽象向量空間的核心考點，中正 111、113、115 三年都考
• 推論規則的英文名稱（115 第 8 題）務必背熟：Modus Ponens、Modus Tollens、Hypothetical Syllogism、Disjunctive Syllogism、Universal／Existential Instantiation 與 Generalization
• Catalan 數的三種面貌（加括號、二元樹、格路徑）與遞迴式 C_n = ΣC_kC_n−1−k 要一起記
• 由 A^TA 的特徵分解求 SVD（115 第 7 題）是標準流程：σ_i = √λ_i、v_i 取 A^TA 的特徵向量、u_i = Av_i/σ_i
• 115 年起系所組別不分甲乙組（軟體設計也同步改），若 116 年延續，代表招生組別整併已經定案
• 證明題比重上升是 115 年最大的變化：11 題裡有 7 題要求論證。練習時要真的動筆寫完整段落，而不只是心算出答案