115 中正資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、11 大題、100 分。系所組別為「資訊工程學系」，不再分甲組、乙組。沒有選擇題，答案寫在試卷（答案卷）作答區內，限用藍色或黑色筆（含鉛筆），試題須隨試卷繳還。卷面沒有倒扣規定。

第 1、2、4、6、8、10、11 題的題目寫明要證明、反證或說明理由。

線性代數考點（1–7，50%）

• 第 1 題（5%）｜給 4×4 lower triangular matrix A（對角線為 π、2、1、7.7），證明或反證 A 與 identity matrix I row equivalent
• 第 2 題（5%）｜給兩個不重疊的球 P、Q，判斷是否存在可逆的 linear transformation T : R³ → R³，使 P 與 Q 的像重疊，並簡述理由
• 第 3 題（10%）｜判斷 p = 1 + x + x² + x³ 是否屬於 p₁ = 8 − 2x + x² − 4x³、p₂ = −3 + 9x + 11x² + 6x³、p₃ = 13 − x + 2x² + 4x³ 的 span
• 第 4 題（5%）｜是否存在 3×3 symmetric matrix，eigenvalue 為 −1、3、7，對應的 eigenvector 為 v₁ = [0 1 −1]、v₂ = [2 0 0]、v₃ = [−3 2 −2]，要說明理由
• 第 5 題（5%）｜已知 Ax = (2,4,2)^T 的通解為 (2,0,0)^T + s(1,1,0)^T + t(0,0,1)^T。(1) 1%：A 的 row space dimension。(2) 4%：求 A
• 第 6 題（10%）｜判斷下列三個運算在指定的實 vector space 上是否為 inner product，要證明或反證。(1) 3%：R² 上的 ⟨(a,b),(c,d)⟩ = ac − bd。(2) 3%：2×2 實矩陣空間上的 ⟨A,B⟩ = tr(A+B)。(3) 4%：多項式空間上的 ⟨f,g⟩ = ∫₀¹ f′g dx
• 第 7 題（10%）｜A = [[2,−2,1],[−4,−9,−8]]，已知 A^TA 可 orthogonally diagonalize 為 QDQ^T，D = diag(144, 9, 0)，Q 已給。(1) 8%：求 A 的 reduced SVD。(2) 2%：求 A 的 rank-1 近似

離散數學考點（8–11，50%）

• 第 8 題（15%）｜用 rules of inference 建構有效論證。前提是「這門課有一個學生沒讀過那本書」與「這門課每個人都通過了第一次考試」，結論是「有人通過了第一次考試但沒讀過那本書」，C(x)、B(x)、P(x) 分別表示「x 在這門課」「x 讀過那本書」「x 通過第一次考試」。(1) 5%：把前提與結論寫成符號式。(2) 10%：逐步建構論證，每一步都要寫出所用的 rules of inference 或理由
• 第 9 題（15%）｜Catalan 數。(1) 5%：四個數 x₀·x₁·x₂·x₃ 的加括號方式有幾種，並全部列出。(2) 10%：求 C_n（n+1 個數 x₀·x₁·…·x_n 的加括號方法數）的 recurrence relation 與初始條件
• 第 10 題（10%）｜證明每個無限集都含有可數無限的子集
• 第 11 題（10%）｜圖 G（有向或無向、可有重邊與 self-loop）的 adjacency matrix 為 A，頂點順序 v₁,…,v_n。用 induction 證明：從 v_i 到 v_j 長度為 r（r 為正整數）的不同路徑數，等於 A^r 的 (i,j) 元素

作答時要注意的地方

1. 全卷沒有選擇題，卷面沒有倒扣規定。
2. 第 6 題三個小題都要證明或反證，第 8(2) 題每一步都要寫出所用的 rules of inference。
3. 第 4 題要說明理由，第 9(1) 題要把加括號的方式全部列出。
4. 第 11 題指定用 induction。

準備方向

• inner product 公設的檢驗（115 第 6 題），抽象 vector space 的 inner product 111 第 5 題、112 第 1(i) 題、113 第 5 題也有。
• rules of inference 與形式證明（115 第 8 題），107 第 5 題是同一組前提與結論，只差在 107 年寫的是期末考，predicate logic 在 110、112、113、114 也有。
• 由 eigenvalue 與 eigenvector 處理 symmetric matrix（115 第 4 題），108 第 4 題也考這組條件。
• SVD 與 rank-1 近似（115 第 7 題），107 第 4 題也有，110 第 5 題、112 第 2 題考的是文字說明。
• Catalan 數的加括號計數與 recurrence（115 第 9 題）。
• 可數性證明（115 第 10 題），106 第 11 題、111 第 8 題也有。
• induction 證明（115 第 11 題），107 第 6 題、113 第 7 題也有。
• subspace 與 span 的判斷（115 第 3 題）、rank 與解集合結構（115 第 5 題）。