115 交大資工所數學考點分析｜國立陽明交通大學

線代 50%＋離散 50%。第 1 題的四組是非題直接重複 107 年的題目，離散部分則連考五個獨立的數學謎題與兩題歸納法證明。

題型與配分

科目「線性代數與離散數學（8102）」，系所班別資訊聯招，考試日期 115 年第 2 節，全卷 4 頁、9 題、100 分，不可使用計算機。

第 1 題（20%，四組各 5%）｜是非題，假的要給反例：
1.1｜非奇異矩陣的四個定義（不可逆？存在 AB=BA=I？行列式非零？Ax=0 有非零解？）
1.2｜基本矩陣的四個定義（交換兩列、乘非零常數、加倍數、重排行）
1.3｜行列式的性質（det(A)=det(B) ⟹ A=B？det(rA+B) 的分配？列等價矩陣的行列式是否相等？）
1.4｜n 個行向量與 A = [a₁…a_n]（線性獨立 ⟺ A 奇異？Ax=0 ⟺ x 為零向量？rank + nullity = n？rank(A) = rank(A^T)？）
這四組與 107 年第 11–14 題幾乎完全相同
第 2 題（5%）｜用嘗試法找出滿足 A² = −I 的 2×2 實矩陣的一般條件
第 3 題（5%）｜求一個大型稀疏矩陣的行列式
第 4 題（8%）｜求給定矩陣的 SVD 並驗證答案
第 5 題（12%）｜A 為 m×n、x 為 n×1：(a) 4% 在 ‖x‖ = 1 的限制下，Ax = 0 的最小平方解是什麼 (b) 8% 證明你的答案。「不會寫請留白，答錯最多倒扣 5 分，扣至 3、4、5 題 0 分為止」（答案與最小奇異值對應的右奇異向量有關）

第 6 題（25%，五個獨立小題各 5%）｜
6.1｜判斷 ∃a∀b(b∈a ↔ b∉b) 是 tautology、contradiction 還是兩者皆非，要嚴格證明（這是 Russell 悖論，答案是 contradiction）
6.2｜解一個含無窮嵌套根號的方程式求 z
6.3｜求 √5+√6+√7+√8+√9+√10+√11+√12+√13 的整數部分，要說明如何得到
6.4｜T 為 243 個 1 組成的數（重複單位數 R₂₄₃），問 T 是否能被 243 整除，要說明理由
6.5｜嚴格遞增函數 f : N → N 滿足 f(f(x)) = 2x + 1，求 f(6)
第 7 題（10%）｜三條互相耦合的數列 x_n、y_n、z_n：(a) 3% 令 u_n = x_n+y_n+z_n，用數學歸納法證明 u_n = 2ⁿ (b) 3% 由 (a) 導出 y_n = 2ⁿ⁻¹ − y_n−1 (c) 4% 解出 y_n 的封閉式並驗證初始條件。題目明訂「沒有論證的答案不給分」
第 8 題（8%）｜R 為 mod 7 同餘、S 為 mod 13 同餘：(a) 4% R ∩ S 是否為等價關係 (b) 4% R ∪ S 是否為等價關係。是的要證明，不是的要指出違反哪一條性質（交集是、聯集不是 —— 傳遞性失敗）
第 9 題（7%）｜完全圖 K_n（n ≥ 5）移除一組失效的節點與連線 S（|S| ≤ n−3，且失效連線不與失效節點相連），用對 n 的數學歸納法證明 K_n − S 仍含 Hamiltonian cycle。題目明訂不得引用任何 Hamiltonian 圖的判定定理

第 9 題（7 分）的歸納證明明文禁止使用 Dirac／Ore 等判定定理，必須從頭建立歸納論證，是全卷最難的一題。
第 5 題（12 分）有倒扣且會扣到第 3、4、5 題整組 0 分，而答案本身需要理解「在單位球面上最小化 ‖Ax‖ 就是取最小奇異值的右奇異向量」。
第 6.4 的 R₂₄₃ 被 243 整除要用「重複單位數 R_n 的整除性」性質（243 = 3⁵，而 R_3^k 被 3^k 整除）。
第 6.5 的 f(f(x)) = 2x+1：要從 f 嚴格遞增與 f(f(0)) = 1 逐步推出 f(0)=0 不可能、f(0)=1 也不可能，最終建立整個函數的模式。