111 台大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、12 題、100 分，A 到 E 五個選項。台大數學 106–115 裡，111、112 兩年用選擇題，其餘年度是填答案。

離散數學考點（1–5，各 10%）

• 第 1 題｜五個圖中哪一個有 Eulerian cycle
• 第 2 題｜recurrence a_n = a_n−1 + 6a_n−2 以 a₀ = A、a₁ = B 表示的解
• 第 3 題｜recurrence a_n = −a_n−1 + 6a_n−2（與第 2 題的 a_n−1 項正負相反）以 a₀ = A、a₁ = B 表示的 partial fraction 分解 generating function
• 第 4 題｜x₁ + x₂ + … + x_n = r 的正整數解個數
• 第 5 題｜|A| = m 時，A 上的 non-symmetric 關係有幾個

線性代數考點（6–12）

• 第 6 題（5%）｜A 與 B similar 時，四個敘述有幾個為真：A⁻¹ 與 B⁻¹ 是否 similar、是否有相同 eigenvalue、是否代表不同 basis 下的同一個變換、nullity 是否相同
• 第 7 題（5%）｜orthogonal matrix 的四個敘述有幾個為真：inverse 是否 orthogonal、乘積是否 orthogonal、column vector orthonormal 的矩陣是否可逆、A + iB 為 unitary 時 A^TB 是否 symmetric
• 第 8 題（5%）｜A² + 4A + 6I = O 時，若 (A + 3I)⁻¹ = aA + bI，求 2a + b
• 第 9 題（5%）｜以 S = {(t−1)³, (t−1)², (t−1), 1} 為 basis 時，5t³−4t²+3t−2 的座標 (a,b,c,d) 之和
• 第 10 題（10%）｜給一個矩陣 A，求最大的 eigenvalue
• 第 11 題（10%）｜給 A，求滿足 B³ = A 且 B 有實 eigenvalue 的矩陣 B
• 第 12 題（10%）｜給兩個由四個向量 span 的 R⁵ subspace U 與 W，求 dim(U ∩ W)

作答時要注意的地方

1. 第 6、7 題只問有幾個為真，各敘述都要判斷正確。
2. 第 11 題的條件有兩個，B³ = A 之外還要 B 有實 eigenvalue，10 分。

準備方向

• 111、112 是選擇題，題型與其他年度大致重複：recurrence、partial fraction、關係計數、線代敘述判斷。
• 矩陣的函數（冪、多項式、立方根）在 106、107、111、112、114、115 都有。
• Cayley-Hamilton 的應用在 107、110、111 都出現。
• 關係計數在 106、107、111 都考過。