111 中正資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、10 題、100 分，每題 10 分。沒有選擇題，答案寫在試卷（答案卷）作答區內，限用藍色或黑色筆（含鉛筆），試題須隨試卷繳還。入場後 40 分鐘內不得離場。卷面沒有倒扣規定。

線性代數考點（1–5，50%）

• 第 1 題（10%）｜向量分解：u = (2,0,1)、a = (1,2,3)，求 u 沿 a 的分量與 u 與 a orthogonal 的分量
• 第 2 題（10%）｜求一個同時與 u = (0,2,−2) 和 v = (1,3,0) orthogonal 的向量
• 第 3 題（10%）｜求 v = (3,4,3) 相對 basis S = {(3,2,1), (−2,1,0), (5,0,0)} 的 coordinate vector
• 第 4 題（10%）｜給 3×3 矩陣 A = [[0,0,−2],[1,2,1],[1,0,3]]，求 A¹³
• 第 5 題（10%）｜在 P₂ 上定義 inner product ⟨p,q⟩ = ∫₋₁¹ p(x)q(x)dx，用 Gram-Schmidt 把 standard basis {1, x, x²} 轉成 orthogonal basis {φ₁, φ₂, φ₃}

離散數學考點（6–10，50%）

• 第 6 題（10%）｜證明「若 n 為整數且 n³ + 5 為奇數，則 n 為偶數」。(a) 5%：用 contrapositive 證法（proof by contraposition）。(b) 5%：用反證法（proof by contradiction）
• 第 7 題（10%）｜給兩個圖 G₁、G₂ 的 incidence matrix（incidence matrix，各為 8 列 7 行），要求證明兩圖是否 isomorphic
• 第 8 題（10%）｜證明正有理數的集合是可數的
• 第 9 題（10%）｜recurrence relation a_n = 2a_n−1 + 3n。(a) 2%：寫出對應的齊次 recurrence。(b) 2%：齊次 recurrence 的通解。(c) 2%：原 recurrence 的一個特解。(d) 2%：原 recurrence 的通解。(e) 2%：a₀ = 1 時的特定解
• 第 10 題（10%）｜畫出所有 non-isomorphic 的樹。(a) 5%：5 個頂點的樹。(b) 5%：4 個頂點的 rooted tree

作答時要注意的地方

1. 全卷沒有選擇題，卷面沒有倒扣規定，每題 10 分。
2. 第 6 題要求兩種證法各寫一次，第 7 題給的是 incidence matrix。
3. 第 5 題的 inner product 積分區間是 [−1,1]。
4. 第 10(b) 問的是 rooted tree。

準備方向

• 向量分解（111 第 1 題），106 第 1 題、108 第 2 題也有。
• 矩陣高次冪（111 第 4 題），109 第 5(c) 題、114 第 4 題也有。
• 抽象 vector space 的 inner product（111 第 5 題），112 第 1(i) 題、113 第 5 題、115 第 6 題也有。
• contrapositive 與反證（111 第 6 題），106 第 9 題是同一題；113 第 7 題、115 第 8、10、11 題也要求寫出證明。
• 圖 isomorphism（111 第 7 題），106 第 10 題是同一題、兩個 incidence matrix 相同，114 第 8(a) 題也有。
• 可數性證明（111 第 8 題），106 第 11 題是同一題，115 第 10 題也有。
• 非齊次遞迴（111 第 9 題），另有遞迴題出現在 108、109、110、112、114、115。
• non-isomorphic 樹的枚舉（111 第 10 題），113 第 9(b) 題也有 rooted tree 的枚舉。