111 中正資工所數學考點分析

題型與配分

系所組別「資訊工程學系－甲組、乙組」，科目名稱：數學，第 1 節考，本科目共 2 頁、10 題、100 分，每題整齊 10 分。

申論卷、寫在答案卷上、無倒扣、限藍黑筆。111 年是八年來唯一每題都剛好 10 分又沒有子題配分差異的一份。

線性代數考點（1–5，50%）

• 第 1 題（10%）｜向量分解：u = (2,0,1)、a = (1,2,3)，求 u 沿 a 的分量與與 a 正交的分量（與 108 第 2 題完全同型）
• 第 2 題（10%）｜求與兩向量都正交的向量：u = (0,2,−2)、v = (1,3,0) ⇒ 直接算 外積 u × v
• 第 3 題（10%）｜座標向量：求 v = (3,4,3) 相對基底 S = {(3,2,1), (−2,1,0), (5,0,0)} 的座標。這組基底刻意設計成階梯狀，可由下往上逐一解出，不必解完整方程組
• 第 4 題（10%）｜矩陣冪次：求 A^k（A 為 3×3）——先找特徵值或觀察 A 的結構
• 第 5 題（10%）｜函數空間的 Gram-Schmidt：在 P₂ 上定義內積 ⟨p, q⟩ = ∫ p(x)q(x) dx，把標準基底 {1, x, x²} 正交化成 {φ₁, φ₂, φ₃}。這是「抽象向量空間」的內積題，不是 Rⁿ——要真的算積分，結果是 Legendre 多項式的雛形

離散數學考點（6–10，50%）

• 第 6 題（10%）｜兩種證明法寫同一件事：證明「若 n 為整數且 n² + 5 為奇數，則 n 為偶數」
• (a) 5%：用反證位換法（proof by contraposition）——假設 n 為奇數，推出 n² + 5 為偶數
• (b) 5%：用反證法（proof by contradiction）——假設 n² + 5 奇數且 n 奇數，推出矛盾
• 兩種寫法的差別必須寫清楚，不能兩題寫一樣的內容
• 第 7 題（10%）｜由關聯矩陣判斷圖同構：給兩個圖 G₁、G₂ 的 incidence matrix，判斷是否同構並證明。做法是從關聯矩陣還原出邊集合、比對度數序列，再嘗試建立對應或找出不變量差異
• 第 8 題（10%）｜證明正有理數是可數的：標準做法是把 p/q 排成二維陣列後沿對角線走訪，並說明重複項（非最簡分數）可略過，因此存在 N → Q⁺ 的雙射
• 第 9 題（10%）｜非齊次遞迴的五個步驟：a_n = 2a_n−1 + 3n
• (a) 2%：寫出對應的齊次遞迴式（a_n = 2a_n−1）
• (b) 2%：齊次通解（c·2ⁿ）
• (c) 2%：求特解（設 a_n = αn + β 代入求係數）
• (d) 2%：通解
• (e) 2%：a₀ = 1 時的特定解
• 這題等於把非齊次遞迴的標準流程拆成五步計分，是最好拿的 10 分
• 第 10 題（10%）｜畫出所有非同構的樹
• (a) 5%：5 個頂點的所有非同構樹（3 棵：路徑、星形、Y 字形）
• (b) 5%：4 個頂點的所有非同構有根樹（rooted tree）（4 棵——有根樹要把根的位置也算進去）

這份考卷的難點

1. 第 5 題的積分內積是全卷最硬的一題。多數人只在 Rⁿ 上練過 Gram-Schmidt，突然要算 ∫x·x² dx 這類積分會慌。要注意積分區間（決定了正交化的結果）。
2. 第 6 題要求「兩種證明法各寫一次」，如果只會一種就直接損失 5 分。Contraposition 是證「¬q → ¬p」，contradiction 是假設「p ∧ ¬q」推矛盾，兩者的開頭句就不一樣。
3. 第 10(b) 的有根樹計數：4 個頂點的無根樹只有 2 棵，但有根樹有 4 棵——把根固定在不同位置會產生不同的有根樹，這個區別最容易漏。
4. 第 7 題的關聯矩陣（incidence matrix，頂點 × 邊）與鄰接矩陣（adjacency matrix，頂點 × 頂點）不同，要先分清楚才讀得懂題目。

準備建議

• 非齊次遞迴的標準流程（111 第 9 題把它拆成五步）是中正每年必考，109、110、112、114 都有遞迴題
• 證明題的書寫格式：中正 111 第 6 題、113 第 7 題、115 第 8、10、11 題都要求正式證明，contraposition／contradiction／induction 三種寫法要各練三題
• 抽象向量空間的內積（111 第 5 題、113 第 5 題、115 第 6 題）是中正與其他學校最大的差異點——別的學校多半只考 Rⁿ
• 可數性證明（111 第 8 題、115 第 10 題）連兩次出現在中正，Cantor 對角線與配對法都要會寫
• 非同構樹的枚舉（111 第 10 題、113 第 9(b) 題）要記住小數量的答案：無根樹 n=4 是 2 棵、n=5 是 3 棵、n=6 是 6 棵；有根樹 n=4 是 4 棵