114 台大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、10 題、100 分，每題 5 或 10 分。

作答方式：「請先在試卷第一頁繪製以下表格，然後將答案填入。」表格為 (A)、(B) 兩欄共十列。

離散數學考點（1–6）

• 第 1 題（5%）｜四個 directed graph 中哪些是 Eulerian
• 第 2 題（5%）｜給一個布林式，求滿足的真值指派個數
• 第 3 題（10%）｜從 {A,B,C,D} 到 {1,2,3,4,5} 的 binary relation 有 N 個，求 N mod 13
• 第 4 題（10%）｜recurrence a_n = −3a_n−1 + 10a_n−2（a₀ = 3、a₁ = 2）的解
• 第 5 題（10%）｜承上的 partial fraction 分解 generating function
• 第 6 題（10%）｜x₁ + x₂ + x₃ + x₄ ≤ 7 的非負整數解個數（與 112 年第 4 題相同）

線性代數考點（7–10）

• 第 7 題（10%，全對才給分）｜哪些集合是 linearly independent 的：(A) P₃(R) 中的三個多項式 (B) M_2x2(R) 中的矩陣集合 等
• 第 8 題（20%）｜V = P₃(R)，inner product 定義為 ⟨f,g⟩ = ∫₀¹ f(x)g(x)dx。(A) 10%：求在 basis {1, x, x², x³} 下使 ⟨f,g⟩ = [f]^TA[g] 成立的矩陣 A　(B) 10%：求某個向量沿某方向的 Fourier 係數
• 第 9 題（10%）｜給一個 n×n 矩陣 A，其形式為主對角線全 1、其餘位置為 a 的冪次，求所有 eigenvalue 的乘積（即 det(A)）的最簡形式
• 第 10 題（10%）｜給矩陣 A 與多項式 f(x) = x⁴ − 7x³ + 13x² − 6x + 1，求 f(A) 的最大 eigenvalue

作答時要注意的地方

1. 第 8 題 20 分，是全卷最大的單題，分成 (A)、(B) 各 10 分。
2. 第 7 題全對才給分。

準備方向

• 函數空間的 inner product 與矩陣表示，在 107、114 都出現，基本積分要熟。
• 多項式作用在矩陣上的 eigenvalue，114 第 10 題考。
• 模運算降冪在 113、114、115 連三年出現。
• 114 第 6 題與 112 第 4 題相同，跨年度比對題目有幫助。