114 中正資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、8 大題、100 分。沒有選擇題，答案寫在試卷（答案卷）作答區內，限用藍色或黑色筆（含鉛筆），試題須隨試卷繳還。卷面沒有倒扣規定。

線性代數考點（1–4，50%）

• 第 1 題（10%）｜linear transformation T : R² → R²，已知 T((1,1)^T) = (1,−2)^T、T((2,3)^T) = (−2,5)^T，求 standard matrix A
• 第 2 題（10%）｜V 是 P₄ 中由 S = {v₁,v₂,v₃,v₄} span 的 subspace，v₁ = t⁴+t²+2t+1、v₂ = t⁴+t²+2t+2、v₃ = 2t⁴+t³+t+2、v₄ = t⁴+t³−t²−t，求 V 的一組 basis
• 第 3 題（15%）｜給 4×5 矩陣 A，求 row space 與 column space 的 basis
• 第 4 題（15%）｜A = [[−1,7,−1],[0,1,0],[0,15,−2]]、P = [[1,1,1],[0,0,1],[1,0,5]]，先驗證 P 能把 A diagonalize，再算 A¹¹

離散數學考點（5–8，50%）

• 第 5 題（16%）｜predicate logic 真假判斷，domain of discourse 為全體實數，八小題各 2 分：(a) ∀x∃y(x² = y)、(b) ∀x∃y(x = y²)、(c) ∀x(x² ≠ x)、(d) ∀x(|x| > 0)、(e) ∃x∃y(x+2y = 2 ∧ 2x+4y = 5)、(f) ∀x∃y(x+2y = 2 ∧ 2x+4y = 5)、(g) ∀x∀y(x+2y = 3 ∧ 2x+4y = 6)、(h) ∃x∃y(x+2y = 2 ∧ 2x+3y = 3)
• 第 6 題（9%）｜pigeonhole principle：從前 12 個正整數中最少選幾個，才能保證至少有三對的和為 15，並要求說明做法
• 第 7 題（13%）｜recurrence：a_n² − 2a_n−1² = 1（n ≥ 1），a₀ = 1，求解
• 第 8(a) 題（6%）｜判斷兩張六個頂點的圖是否 isomorphic，若 isomorphic 要給出頂點對應，若不 isomorphic 要詳細說明理由
• 第 8(b) 題（6%）｜在 complete graph K₅ 中，求任兩頂點之間長度為 6 的路徑數

作答時要注意的地方

1. 全卷沒有選擇題，卷面沒有倒扣規定。
2. 第 4 題寫明要先確認 P 能把 A diagonalize，再計算 A¹¹。
3. 第 5 題的 domain of discourse 是全體實數。
4. 第 6 題要求說明做法，第 8(a) 題的 isomorphism 與否都要附理由。

準備方向

• predicate logic 真假判斷（114 第 5 題），(a)–(e) 五小題與 110 第 6 題相同，112 第 5 題 domain of discourse 是整數。
• pigeonhole principle 湊三對和為定值（114 第 6 題），108、110、112 也有。
• recurrence a_n² − 2a_n−1² = 1（114 第 7 題），109 第 7 題是同一題。
• 矩陣高次冪（114 第 4 題），109 第 5(c) 題、111 第 4 題也有。
• row space 與 column space 的 basis（114 第 3 題），110 第 1 題、112 第 3 題也有。
• 圖 isomorphism（114 第 8(a) 題），111 第 7 題也有。
• 由 linear transformation 在 basis 上的值求矩陣（114 第 1 題），112 第 4 題也有。