114 中興資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 5 頁、18 題、100 分，簡章規定不可使用計算機。單選題畫在答案卡，計算題寫在答案卷，卷面註明未依規定作答不予計分。

單選題考點（1–16，各 5%）

離散數學（1–6）：

• 第 1 題｜哪些命題與 p → (¬q ∧ r) 邏輯等價，最後一個選項是 None of the above
• 第 2 題｜判斷四個函數是否同時一對一且映成：N → N 的 n + 1、Z → Z 的 n + 1、Z × Z⁺ → Q 的 a/b、Z × Z⁺ → R 的 a/b
• 第 3 題｜10 個元素的集合，元素個數為奇數的子集有幾個
• 第 4 題｜p > q > 2 為相異質數，n = pq，φ(n) = 120，求 n
• 第 5 題｜12% 的病人感染，感染者 95% 驗出陽性，未感染者 4% 也驗出陽性，求驗出陽性但沒有感染的機率，題目要求選最接近的答案
• 第 6 題｜15 人（9 男 6 女），辨識器判定 10 人為男生，其中 7 人真的是男生，判斷 accuracy、precision、recall 的敘述

線性代數（7–16）：

• 第 7 題｜determinant 與 trace 的性質，找出錯誤的敘述
• 第 8 題｜T : R² → R² 在兩個向量上的像已知，判斷 T 在其他向量上的像
• 第 9 題｜inner product space 的 inner product 性質，找出不正確的
• 第 10 題｜哪一組向量是 orthogonal set
• 第 11 題｜T : R² → R² 在兩個向量上的像已知，求 T 的 standard matrix
• 第 12 題｜v = (1, 3, 4)，求 v 在 subspace W : x₁ − x₂ + 2x₃ = 0 上的 orthogonal projection 向量
• 第 13 題｜求 (x, y)，使 4×2 矩陣乘上 (x, y) 之後，與給定的 4 維向量 u 盡可能接近
• 第 14 題｜orthogonal matrix Q 的性質，找出不正確的
• 第 15 題｜四個基本 subspace、點到 subspace 的距離、least squares 解的唯一性、orthogonal matrix 的乘積，找出錯誤的
• 第 16 題｜orthogonal projection 與 norm，找出錯誤的

計算題考點（各 10%，寫在答案卷）

• 第 1 題（10%）｜用 induction 證明，對所有整數 n ≥ 1，Σ(2k + 1)（k 從 1 到 n）= n² + 2n
• 第 2 題（10%）｜v = (3, 2, 6)^T ∈ R³，W = {(a, b, b)^T | a, b ∈ R}：
• 2(A)（2%）｜求 W 的 orthogonal basis
• 2(B)（4%）｜求 v 在 W 上的 projection P_W(v)
• 2(C)（4%）｜求 W 的 projection matrix P_W

作答時要注意的地方

1. 簡章規定不可使用計算機，卷首另附考生注意事項一頁。
2. 單選題每題 5 分，第 7、9、14、15、16 題都問「找出錯誤的敘述」。
3. 第 1、2 題的最後一個選項分別是 None of the above。
4. 計算題只能寫在答案卷，寫在試題紙上不予計分。
5. 第 1 題明訂要用 induction。

準備方向

• 命題等價：114 第 1 題，110 第 3 題、111 第 3 題也有。
• 函數的一對一與映成：114 第 2 題，115 第 7 題也有。
• 子集計數：114 第 3 題，115 第 3 題也有。
• Euler φ 函數：114 第 4 題，115 第 8 題也有。
• Bayes' theorem：114 第 5 題，108 填空 ⑦、111 計算題第 5 題也有。
• Precision、recall 與 accuracy：114 第 6 題，108 填空 ①②、111 第 6 題、115 第 10 題也有。
• orthogonal matrix 的性質：114 第 14 題，111 選擇第 1 題、113 第 14 題也有。
• orthogonal projection 與 projection matrix：114 第 12 題與計算題第 2 題，112 第 6 題、113 第 15 題也有。
• least squares：114 第 13 題（第 15 題的選項也提到），111 計算題也有。
• induction：114 計算題第 1 題，110 PART I 第 9 題有 induction 的條件判斷。