114 中興資工所數學考點分析

題型與配分

系所「資訊工程學系 甲組」，科目：離散數學與線性代數，本科目試題共 5 頁、18 題、100 分，「不可以」使用計算機。

作答區域要看清楚：單選題必須畫在答案卡、計算題必須寫在答案卷，寫錯地方「不予計分」。

114 年從 112、113 的全申論改回選擇題為主，而且每題 5 分——16 題中錯 3 題就掉 15 分，單題權重是八所裡最高的。

逐題考點

離散數學（1–6）

• 第 1 題（5%）｜命題邏輯等價：找出與 p → (¬q ∧ r) 等價的選項
• 第 2 題（5%）｜一對一且映成的函數：f : N→N 的 n+1（不是滿射）、f : Z→Z 的 n+1（是雙射）、f : Z×Z⁺→Q 的 a/b（滿射但非單射）、f : Z×Z⁺→R（不是滿射）
• 第 3 題（5%）｜奇數個元素的子集：10 元素集合的子集中，元素個數為奇數的有幾個 → 2⁹ = 512（奇偶各半）
• 第 4 題（5%）｜Euler φ 函數反推：p > q > 2 為相異質數、n = pq、φ(n) = (p−1)(q−1) = 120，求 n。試 (p−1)(q−1) = 120 的分解 → p = 13、q = 11 ⇒ n = 143
• 第 5 題（5%）｜貝氏定理：12% 感染率、感染者 95% 陽性、未感染者 4% 陽性，求陽性但未感染的機率 ≈ 0.26
• 第 6 題（5%）｜分類器評估指標：15 人（9 男 6 女），辨識器判 10 人為男其中 7 人正確。precision = 7/10、recall = 7/9、accuracy = (7+3)/15
• 正解是 (E) Recall is 7/9

線性代數（7–16）

• 第 7 題（5%）｜行列式與跡的性質，找出錯誤的敘述：det((AB)^T) = det A·det B（真）、det(A^T)⁻¹ = det(A)⁻¹、det(cA) = |c|det(A)（假，應為 cⁿ）、tr(AB) = tr(BA)（真）
• 第 8 題（5%）｜由 T 在兩個向量上的像，推算 T 對第三個向量的像
• 第 9 題（5%）｜內積的性質，找出不正確的：u·w = 0 ⟺ w = 0（假——正交不代表是零向量）、分配律（真）、‖cu‖ = |c|‖u‖（題目寫成 c‖u‖ 少了絕對值）
• 第 10 題（5%）｜哪一組向量是正交集（逐組算內積）
• 第 11 題（5%）｜由 T 在兩個非標準基底向量上的像，求 T 的標準矩陣
• 第 12 題（5%）｜正交投影：求 v 在子空間 W : x₁ − x₂ + 2x₃ = 0 上的投影向量
• 第 13 題（5%）｜求座標向量 [v]_B
• 第 14 題（5%）｜正交矩陣的性質，找出不正確的：Q^TQ = I（真）、「不是所有正交矩陣都可逆」（假——正交矩陣恆可逆）、保內積（真）、保長度（真）
• 第 15 題（5%）｜四大子空間與最小平方，找出錯誤的：(Col A)⊥ = Null(A^T)（題目寫成 Null(A) 是錯的）、點到子空間的距離 = ‖u − P_W u‖（真）、A 的行線性獨立時最小平方解唯一（真）、PQ^T 為正交矩陣（真）
• 第 16 題（5%）｜投影與範數，找出錯誤的：投影落在直線上（真）、‖v‖ = 0 ⇒ v = 0（真）、‖u·v‖ = ‖u‖‖v‖（假——這是 Cauchy-Schwarz 的等號情形，一般只有 ≤）、u − w 與直線正交（真）

計算題（各 10%，寫在答案卷）

• 第 1 題（10%）｜數學歸納法證明：對所有 n ≥ 1，證明 Σ_k=1ⁿ k(k+1) 型的求和公式
• 第 2 題（10%）｜正交投影三連問
• (A) 2%：求子空間 W 的正交基底
• (B) 4%：求 v 在 W 上的投影 P_W(v)
• (C) 4%：求 W 的投影矩陣 P_W

這份考卷的難點

1. 單選每題 5 分且多數是「找出錯誤敘述」，等於每題都要驗證四到五個命題。第 7、9、14、15、16 題全是這種格式，一題看錯就是 −5 分。
2. 第 16(C) 的 Cauchy-Schwarz：正確的是 |u·v| ≤ ‖u‖‖v‖，等號只在兩向量平行時成立。題目把不等式寫成等式，是最精緻的陷阱。
3. 第 4 題的 φ(n) = 120 反推：要列出 120 的所有因數分解 (p−1)(q−1)，再檢查 p、q 是否都是質數且 p > q > 2。禁用計算器下要有系統地試。

準備建議

• 正交投影在這份卷子出現三次（第 12 題、第 15 題、計算題第 2 題），佔 20 分——這是中興線代 114 年最該練的題型
• 「找出錯誤敘述」的題型要反過來練：把課本定理的常見誤述整理成清單（det(cA) = cⁿdetA、正交矩陣必可逆、(Col A)⊥ = Null(A^T)、Cauchy-Schwarz 是不等式）
• precision／recall／accuracy 在 108、111、114、115 四年出現，是中興獨有的跨領域考點，公式要背死
• 費馬小定理（109 第 7 題的 43³² mod 11）是禁用計算器下處理大數模運算的核心工具，中興反覆在考