114 成大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 3 頁、9 題、100 分，不可使用計算機。

第 1–8 題全部是四選一，合計 90 分。

離散數學考點（1–4）

• 第 1 題（20%）｜給一台 finite state machine（四個狀態 s₀–s₃ 與轉移標記），兩小題各 10%，均為四選一
• 第 1(I) 題｜長度 |x| = 8 且 ν(s₀, x) = s₀ 的相異輸入串有幾個
• 第 1(II) 題｜長度 |x| = 12 時有幾個
• 第 2 題（10%）｜x₁ + 2x₂ + x₃ = 17 的非負整數解個數，且 2 ≤ x₁ ≤ 5、3 ≤ x₂ ≤ 6、4 ≤ x₃ ≤ 7
• 第 3 題（10%）｜S = {1,2,3,4,5,{6,7}}，問 S 的 power set 大小
• 第 4 題（10%）｜解 recurrence a_n − 3a_n−1 = 5·3ⁿ（a₀ = 2）

線性代數考點（5–9）

• 第 5 題（10%）｜m×n 矩陣 A 的 rank 為 r，若 Ax = b 對某些 b 恰有一解、對其他 b 無解，則 r、m、n 的關係是什麼
• 第 6 題（10%）｜給一個 Vandermonde matrix，問 x₁、x₂、x₃ 要滿足什麼條件才 nonsingular
• 第 7 題（10%）｜哪一個敘述是錯的：AA^T 與 A^TA 的 rank、orthogonal matrix 的 transpose、L(v₁) = L(v₂) 與 kernel、row equivalent 矩陣的 determinant
• 第 8 題（10%）｜給一個矩陣，關於其 eigenvalue 與 eigenspace 哪一個敘述是錯的
• 第 9 題（10%）｜是非題，五小題各 2%
• 第 9(a) 題｜3×2 且 column vector orthonormal 的 Q，‖Qx‖ 是否恆等於 ‖x‖
• 第 9(b) 題｜P = A(A^TA)⁻¹A^T 是否滿足 P^k = P
• 第 9(c) 題｜orthonormal set 構成的 U 是否滿足 UU^T = I，與 109 第 1(e) 題相同
• 第 9(d) 題｜A symmetric 且 det(A) > 0 是否蘊含 positive definite
• 第 9(e) 題｜symmetric positive definite 矩陣的對角元素是否必為正

作答時要注意的地方

1. 第 1 至 8 題是選擇題，合計 90 分。
2. 第 1 題 20 分，兩小題都要算到 n = 8 與 n = 12，且不可使用計算機。
3. 第 7、8 題問的是哪個敘述錯誤。
4. 第 9 題是五小題是非題，各 2 分。

準備方向

• finite state machine：113 第 4 題、114 第 1 題、115 第 5 題。
• 非齊次 recurrence：112、113、114、115 年各一題。
• 「UU^T = I」是否成立：109 第 1(e) 題、114 第 9(c) 題。
• row equivalent 矩陣的 determinant 是否相等：112 第 10(c) 題、114 第 7 題。
• projection matrix 與 rank 的性質（114 第 5、9(b) 題）。
• power set 與集合基數（114 第 3 題）。