114 成大資工所數學考點分析｜國立成功大學

首次大量改為選擇題（前八題全是四選一），離散部分連考兩題有限狀態機的輸入串計數，是十年首見。

題型與配分

編號 149，系所「電機資訊學院－資訊聯招」，科目：計算機數學，考試日期 114 年 2 月 10 日第 3 節，全卷 3 頁、9 題、100 分，不可使用計算機。

這是成大數學第一次大量採用選擇題（第 1–8 題全部是四選一，合計 80 分）。

區段	題號	配分
一、離散數學	1–4	50%
二、線性代數	5–9	50%

第 1 題（20%，2 小題各 10%）｜給一台有限狀態機（狀態 s₀、s₁ 與轉移標記）：
I.｜長度 |x| = 8 且 ν(s₀, x) = s₀ 的相異輸入串有幾個（選項 72/73/74/75）
II.｜長度 |x| = 12 時有幾個（選項 991/992/993/994）
要建立轉移的遞迴關係再迭代
第 2 題（10%）｜x₁ + 2x₂ + x₃ = 17 的非負整數解個數，且 2 ≤ x₁ ≤ 5、3 ≤ x₂ ≤ 6、4 ≤ x₃ ≤ 7。係數 2 讓生成函數不對稱，要小心
第 3 題（10%）｜S = {1,2,3,4,5,{6,7}}，問 S 的冪集合大小。陷阱：S 有 6 個元素（{6,7} 算一個），所以是 2⁶ = 64
第 4 題（10%）｜解遞迴式 a_n − 3a_n−1 = 5·3ⁿ（a₀ = 2）。3 是特徵根，特解要取 cn·3ⁿ，答案是 (2+5n)·3ⁿ

第 5 題（10%）｜m×n 矩陣 A 的秩為 r，若 Ax = b 對某些 b 恰有一解、對其他 b 無解，則 r、m、n 的關係是什麼（r = n < m）
第 6 題（10%）｜給一個 Vandermonde 矩陣，問 x₁、x₂、x₃ 要滿足什麼條件才非奇異（所有 x_i 相異）
第 7 題（10%）｜哪一個敘述是錯的：AA^T 與 A^TA 的秩是否相同（真）、正交矩陣的轉置是否也正交（真）、L(v₁) = L(v₂) 時 v₁−v₂ 是否在核空間（真）、列等價矩陣的行列式是否相等（假 —— 這就是錯的那個）
第 8 題（10%）｜給一個矩陣，關於其特徵值與特徵空間哪一個敘述是錯的
第 9 題（10%，5 小題各 2%）｜是非題：(a) 3×2 且行向量正交歸一的 Q，‖Qx‖ 是否恆等於 ‖x‖（真） (b) P = A(A^TA)⁻¹A^T 是否滿足 P^k = P（真，投影矩陣冪等） (c) 正交歸一集合構成的 U 是否滿足 UU^T = I（假，除非 k = n；與 109 年第 1(e) 題完全相同） (d) A 對稱且 det(A) > 0 是否蘊含正定（假） (e) 對稱正定矩陣的對角元素是否必為正（真）

第 1 題（20 分）的有限狀態機計數要先從狀態圖建立遞迴關係（例如 a_n = 某種線性組合），再迭代到 n = 8 與 n = 12 —— 計算量大且禁用計算器。
第 3 題的冪集合陷阱：{6,7} 作為 S 的一個元素，所以 |S| = 6 而非 7。這是最容易失分的送分題。
第 4 題的特解形式：因為 3 是齊次解的特徵根，特解不能取 c·3ⁿ，必須取 cn·3ⁿ。
第 9(d) 的反例：對稱且行列式為正不代表正定 —— 例如 diag(−1,−1) 的行列式是 1 但不正定。