106 成大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、8 題、100 分，不可使用計算機。

卷面明訂「只有答案，沒有計算過程或說明原因，也不予計分」，多題後面再加註「no score if you give no details」。

線性代數考點（1–4）

• 第 1 題（15%）｜給隨機矩陣 A 與向量 p，求 lim_n→∞ Aⁿp 的四個分量 a, b, c, d
• 第 2 題（10%）｜判斷三個集合是否為 R³ 的 subspace：{x < 0}、{x+y+z = 3}、{x = 2z}
• 第 3 題（10%）｜V = {(x₁,…,x_n) : x₁+…+x_n = 0}，求 V 在 R 上的一組 basis
• 第 4 題（15%）｜T : P₂(R) → P₂(R) 定義為 T(g) = g + x·g′ + g′，求 operator 5T + 2T² + T¹⁰ 的 eigenvalue 與對應的 eigenvector

離散數學考點（5–8）

• 第 5 題（10%）｜36 個相同機器人分配到五條生產線：(a) 5% 每條至少 4 個 (b) 5% 每條至少 4 個但不超過 10 個
• 第 6 題（15%）｜tridiagonal matrix D（主對角線 2、次對角線 −1）的 determinant：(a) 5% 用 recurrence relation 表示 |D_n| (b) 5% 求通解 (c) 5% 已知 |D₁| = 2、|D₂| = 3，求 |D₁₀₀|
• 第 7 題（10%）｜解 recurrence 6a_n − 5a_n−1 + a_n−2 = sin(nπ)（a₀ = 1、a₋₁ = a₋₂ = 0）
• 第 8 題（15%）｜定義 field (Q, ⊕, ⊗)，其中 a⊕b = a+b−k、a⊗b = a+b−(ab/m)，求 k 與 m 使得：(a) 5% 零元素為 5 (b) 5% 8 的 additive inverse 為 −7 (c) 5% 3 的 multiplicative inverse 為 1/6

作答時要注意的地方

1. 只有答案、沒有過程或理由不給分，單一數字的小題（例如第 6(c) 題）也一樣。
2. 第 1、4、6、8 題各 15 分，是配分最高的四題。
3. 第 6、8 題各分三小題，每小題 5 分。

準備方向

• tridiagonal matrix determinant 的遞迴：106 第 6 題、109 第 5 題。
• Markov chain 的 steady state（106 第 1 題）。
• recurrence 求解：106 第 7 題，112、113、114、115 年都有非齊次 recurrence。
• 自訂運算下的體公理（106 第 8 題）。
• subspace 判定與 basis（106 第 2、3 題）。