106 中正資工所考古題解答｜數學考點分析

全卷 11 題，沒有選擇題，線代 50 分、離散 50 分。線代有 LU 分解（指定用分解求解），離散的 contrapositive 與反證、incidence matrix 判斷 isomorphism、正有理數可數，111 年原題再考。

題型與配分

全卷 2 頁、11 題、100 分。沒有選擇題。卷面沒有倒扣規定，第 4(b) 題寫明用其他方法不給分。

第 1 題（10%）｜向量分解：u = (3,−1,2)、a = (1,3,0)，求 u 沿 a 的分量與 u 與 a orthogonal 的分量
第 2 題（15%）｜判斷向量組是否 span R³，每小題都要說明理由。(a) 5%：v₁ = (1,2,3)、v₂ = (2,0,0)、v₃ = (−2,1,0)。(b) 5%：v₁ = (2,−1,2)、v₂ = (4,1,3)、v₃ = (2,2,1)。(c) 5%：四個向量 v₁ = (3,2,4)、v₂ = (−3,−1,0)、v₃ = (0,1,4)、v₄ = (0,2,8)
第 3 題（5%）｜2×2 矩陣 A，(1,1)^T 是 eigenvalue 2 的 eigenvector、(2,3)^T 是 eigenvalue 1 的 eigenvector，v = (3,4)^T，求 A³v
第 4 題（10%）｜LU 分解。(a) 5%：求 [[2,6,2],[−3,−8,0],[4,9,2]] 的 LU 分解。(b) 5%：用 (a) 的結果解 2x₁ + 6x₂ + 2x₃ = 2、−3x₁ − 8x₂ = 2、4x₁ + 9x₂ + 2x₃ = 3，用其他方法不給分
第 5 題（10%）｜(a) 5%：求 {(1,1,1)^T, (1,2,3)^T} span 的 R³ subspace 的 orthonormal basis。(b) 5%：把 (a) 的 basis 補成 R³ 的 orthonormal basis

第 6 題（10%）｜congruence。(a) 5%：求 5 在模 43 下的 inverse。(b) 5%：解 5x ≡ 8 (mod 43)
第 7 題（10%）｜二進位字串：長度 n 且含偶數個 1 的字串個數，寫出 recurrence relation
第 8 題（5%）｜regular graph：degree 為 6、有 99 條邊的 regular graph 有幾個頂點
第 9 題（10%）｜證明「若 n 為整數且 n³ + 5 為奇數，則 n 為偶數」。(a) 5%：用 contrapositive 證法。(b) 5%：用反證法
第 10 題（5%）｜卷上先給 incidence matrix 的定義，再給兩個圖 G₁、G₂ 的 incidence matrix（各為 8 列 7 行），判斷兩圖是否 isomorphic 並說明理由
第 11 題（10%）｜證明正有理數的集合是可數的

向量沿某方向的分量與 orthogonal 分量（106 第 1 題），108 第 2 題、111 第 1 題也有。
證明「n³ + 5 為奇數則 n 為偶數」的 contrapositive 與反證（106 第 9 題）、incidence matrix 判斷 isomorphism（106 第 10 題）、正有理數可數（106 第 11 題），111 第 6、7、8 題是同樣的三題，111 第 7 題的兩個 incidence matrix 也與 106 相同。
modular inverse 與線性 congruence（106 第 6 題），109 第 9 題、110 第 7 題也有，題目開頭的 congruence 定義與 107 第 7 題相同。
regular graph 的 degree、邊數與頂點數（106 第 8 題），112 第 8(a) 題也問 degree 為 6 的 regular graph；握手定理在 107 第 9 題也有。
二進位字串的遞迴（106 第 7 題），109、110、112 也有，問的是連續 0。
LU 分解（106 第 4 題），其他年度的矩陣分解是 QR、SVD 與 spectral decomposition。
orthonormal basis 與補完 basis（106 第 5 題），109 第 4 題、110 第 4(a) 題也有。
由 eigenvector 求 A 的高次冪作用在向量上（106 第 3 題），109、111、114 也有矩陣的高次冪。