106 台大資工所數學考點分析

題型與配分

科目「數學」（題號 414、節次 4），全卷 3 頁、12 題、100 分。

線性代數考點（1–5，各 10%）

• 第 1 題｜求一個 3×3 實矩陣的反矩陣
• 第 2 題｜對特徵值只有 0 與 1 的可對角化複矩陣 A，求最小的正整數 k 使 A^k = A 恆成立。關鍵：對角化後每個特徵值滿足 λ^k = λ，0 與 1 都滿足任何 k ≥ 1
• 第 3 題｜R² 上對通過原點與 (x,y) 的直線 L 做正交投影，求其在標準基底下的矩陣表示（答案是 (1/(x²+y²))·[[x², xy],[xy, y²]]）
• 第 4 題｜給一個雙線性形式 f : R²×R² → R，已知 u = (1,0)，要找出向量 w 使 f 在 {u, w} 這組基底下化成 s₁t₁ + s₂t₂ 的標準形。這是 Gram-Schmidt 正交化的變形
• 第 5 題｜求一個 2×2（或 3×2）矩陣的 pseudo-inverse（Moore-Penrose 偽逆）

離散數學考點（6–12）

• 第 6 題（10%）｜|A| = m 時，A 上既不是 reflexive 也不是 irreflexive 的關係有幾個。用排容原理：2^m2 − 2·2^m2−m
• 第 7 題（10%）｜填空題
• 第 8 題（10%）｜遞迴式 a_n+2 = a_n+1 + a_n（Fibonacci）的解具有 A·αⁿ + B·βⁿ 的形式，要以任意初始條件 a₀、a₁ 表示出 A、B、C、D
• 第 9 題（5%）｜證明 n ≥ 2 時 n−1 與 n 互質
• 第 10 題（5%）｜填空：一個圖是 _____ 若且唯若它所有的環都是偶數長度（二分圖）
• 第 11 題（5%）｜n 為奇數時，化簡 C(n,0) + C(n,2) + … 這類二項式係數的和（答案 2ⁿ⁻¹）
• 第 12 題（5%）｜給一個有向圖，在第二張圖上畫出它的 transitive closure

這份考卷的難點

1. 第 4 題的雙線性形式化標準形是線代裡較少練習的題型，要理解「找一組基底讓二次形式變成單位矩陣」其實就是正交化。
2. 第 5 題的偽逆要記住公式 A⁺ = (A^TA)⁻¹A^T（列滿秩時）或 A^T(AA^T)⁻¹（行滿秩時），並判斷用哪一個。
3. 第 6 題的關係計數要小心排容：「既不 reflexive 也不 irreflexive」= 全部 − reflexive − irreflexive（兩者不會同時發生，除非 m = 0）。
4. 第 9 題是全卷唯一的證明題，雖然只有 5 分，但要寫出完整論證（用 gcd(n−1,n) = gcd(n−1,1) = 1）。

準備建議

• 台大數學考科是「線性代數 + 離散數學」兩科合一，十年不變，兩邊都要準備
• 偽逆（pseudo-inverse）在台大 106 年出現，是線代的進階內容，建議補齊
• 關係的計數（reflexive／symmetric／transitive 的各種組合）是離散數學的高頻題，台大 106、107、111 都考
• 遞迴式的通解形式 + 以初始條件表示係數是台大每年必考（106、107、108、109、111、112、113、114），務必練熟