106 師大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 4 頁、12 大題、100 分，申論題，卷面沒寫倒扣。卷面注意事項是「請依序在答案卷上作答，並標明題號，不必抄題」與「答案必須寫在指定作答區內，否則依規定扣分」。

卷首有一段 Notations（卷面註明 You may skip over this part），定義 column vector、function、matrix transformation induced by A、B-matrix [T]_B、orthogonal matrix 與 orthogonal operator。

線性代數考點（1–5，50%）

• 第 1 題（10%）｜矩陣 A 的 reduced row echelon form 為 R = [[1, −3, 0, 5, 3], [0, 0, 1, 2, −2], [0, 0, 0, 0, 0]]，A 的第 1、3 行為 a₁ = (1, −1, 2)^T、a₃ = (2, 0, −1)^T，求 A
• 第 2 題（10%）｜A 是 linear transformation T : R⁵ → R⁸ 的 standard matrix，T 的 range dimension 為 3，求 (a) Col A (b) Null A (c) Row A (d) Null A^T (e) T 的 null space 各自的 dimension
• 第 3 題（10%）｜給 [T]_B = [[1, 2, −1], [−1, 3, 2], [2, 1, 2]] 與 basis B = {(2,1,1)^T, (1,2,1)^T, (1,1,1)^T}，求 T(x) 的明確式子，題目提示要先求 T 的 standard matrix
• 第 4 題（8%）｜A = [[3, 0, 0], [0, c, 0], [1, 0, −2]]，characteristic polynomial 為 −(λ − c)(λ + 2)(λ − 3)，求所有使 A 不 diagonalizable 的 c
• 第 5 題（12%）｜找 R³ 上的 orthogonal 算子 T 使 T(v) = w，其中 v = (1/√10)(3, 1, 0)^T、w = (1/√5)(0, −2, 1)^T

離散數學考點（6–12，50%）

• 第 6 題（8%）｜knights and knaves（knight 永遠說真話、knave 永遠說謊），遇到 A、B 兩人，判斷兩人身分，無法判斷時要說能得到什麼結論，答案格式由題目指定，共四小題
• 第 6(1) 題｜A 說「我們兩個都是 knight」，B 說「A 是 knave」
• 第 6(2) 題｜A 說「我們至少有一個是 knave」，B 不說話
• 第 6(3) 題｜A 與 B 都說「我是 knight」
• 第 6(4) 題｜A 說「我是 knave 或 B 是 knight」，B 不說話
• 第 7(1) 題｜domain of discourse 為全體整數，判斷 ∀n(3n ≤ 4n) 的真假
• 第 7(2) 題｜a ≡ 4 (mod 17)、b ≡ 9 (mod 17)，求 0 ≤ c ≤ 16 且 c ≡ 2a + 3b (mod 17) 的 c
• 第 7(3) 題｜題目給 Euler φ 函數的定義，求 φ(10)
• 第 7(4) 題｜畫出 adjacency matrix [[1, 2, 1], [2, 0, 0], [0, 2, 2]] 所表示的圖
• 第 8(1) 題｜從 1 到 8 中任選 5 個整數，證明其中必有兩數和為 9
• 第 8(2) 題｜改成選 4 個整數時，(1) 的結論是否仍成立
• 第 9(1) 題｜求矩陣 A 使 [[1, 3, 2], [2, 1, 1], [4, 0, 3]]A = [[7, 1, 3], [1, 0, 3], [−1, −3, 7]]
• 第 9(2) 題｜給 a、b、c、d 四個頂點的 directed graph，畫出這個關係的 reflexive closure
• 第 10 題（6%）｜求 congruence equation 組 x ≡ 1 (mod 2)、x ≡ 2 (mod 3)、x ≡ 3 (mod 5)、x ≡ 4 (mod 11) 的所有解
• 第 11 題（6%）｜generating function x³/(1 + 3x)，寫出它決定的數列的 closed form
• 第 12 題（6%）｜證明 f(x) = |x| 從實數集到非負實數集不可逆，但 domain 限制為非負實數時可逆

第 6–9 題各 8 分，各分二到四小題，卷面沒有標小題配分。

作答時要注意的地方

1. 全卷申論題，卷面沒寫倒扣。
2. 第 2 題五個 subspace 都要寫 dimension，(e) 問的是 T 的 null space。
3. 第 4 題題目已給 characteristic polynomial，題目要的是所有使 A 不 diagonalizable 的 c。
4. 第 6 題無法判斷身分時，要寫出能得到的結論，答案格式照題目指定的句型。
5. 第 7(4) 題的 adjacency matrix 不 symmetric，對角線有非零項。
6. 第 10 題要求所有解。
7. 第 12 題要同時論證「不可逆」與「限制定義域後可逆」兩部分。
8. 第 5 題的 v、w 與 115 年第 4 題相同。

準備方向

• RREF、rank 與四大 subspace：106 第 1、2 題；107 第 1 題、108 第 1 題、109 第 2 題、110 第 2 題、111 第 6 題、112 第 1 題、113 第 1 題、114 第 1 題、115 第 1(a) 題也有。
• basis、座標與 B-矩陣：106 第 3 題；108 第 2 題、111 第 8 題、112 第 3 題、114 第 3 題也有。
• eigenvalue、diagonalization 與 eigenspace：106 第 4 題；107 第 3、5 題、108 第 3 題、109 第 3、5 題、111 第 9 題、112 第 4 題、113 第 2(b)、4 題、114 第 2、5 題、115 第 1(b) 題也有。
• orthogonal 算子的構造：106 第 5 題；108 第 5 題、110 第 5 題、115 第 4 題也有。
• 邏輯與 quantifier：106 第 6、7(1) 題；107 第 7 題、108 第 9 題、109 第 6 題、110 第 10(1) 題、111 第 4(1) 題也有。
• congruence 與數論：106 第 7(2)(3)、10 題；107 第 10 題、108 第 8(1)、12(1) 題、109 第 10 題、111 第 4(2) 題、112 第 7 題、113 第 7 題、114 第 8 題、115 第 7 題也有。
• 圖論：106 第 7(4) 題；107 第 6(d) 題、108 第 6(4)、8(4) 題、109 第 9(1) 題、110 第 8(2) 題、111 第 5 題、112 第 9 題、113 第 5 題、114 第 6、7 題、115 第 5、6 題也有。
• 計數（permutation、binomial、pigeonhole principle、關係計數）：106 第 8 題；107 第 8(b)、9(a) 題、108 第 6(1)(2)、8(2) 題、110 第 9(1) 題、111 第 2 題、112 第 10 題、114 第 9 題也有。
• 矩陣方程、inverse 與冪次：106 第 9(1) 題；107 第 12 題、108 第 10 題、110 第 10(2) 題也有。
• 關係與函數：106 第 9(2)、12 題；107 第 6(b)、9(b)(c)(d) 題、108 第 6(3)、8(3) 題、109 第 9(2) 題、110 第 8(1) 題、111 第 3 題、112 第 6、8 題、114 第 9 題也有。
• generating function 與數列的 closed form：106 第 11 題；107 第 11 題、108 第 11 題也有。