108 師大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 3 頁、13 大題、100 分，申論題，卷面沒寫倒扣。卷面注意事項是「請依序在答案卷上作答，並標明題號，不必抄題」與「答案必須寫在指定作答區內，否則依規定扣分」。線代題的配分標成 points，離散題標成「分」。

卷首有一段 Notations（卷面註明 You may skip over this part），定義 B-matrix [T]_B、orthogonal matrix 與 orthogonal operator。

線性代數考點（1–5，50%）

• 第 1 題（6%）｜A 的 reduced row echelon form 為 R = [[1, 2, 0, 0, −2], [0, 0, 1, 0, 3], [0, 0, 0, 1, 1]]，A 的第 1、3、4 行為 a₁ = (3, 5, 2)^T、a₃ = (2, 0, −1)^T、a₄ = (2, −1, 3)^T，求 A
• 第 2 題（12%）｜basis B = {(1,0,1)^T, (0,1,0)^T, (1,1,0)^T}，T 把三個 basis 向量分別送到 −(0,1,0)^T、2(1,1,0)^T、(1,0,1)^T + 2(0,1,0)^T，求 (a) [T]_B (b) T 的 standard matrix (c) T(x) 的明確式子
• 第 3 題（10%）｜T(x₁, x₂, x₃) = (7x₁ − 10x₂, 5x₁ − 8x₂, −x₁ + x₂ + 2x₃)，求 T 的 eigenvalue 與每個 eigenspace 的 basis
• 第 4 題（12%）｜u = (8, 0, 2)^T，W 是 x₁ + x₂ − x₃ = 0 與 x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 0 的解集合：(a) 求 orthogonal projection 矩陣 P_W (b) 求唯一的 w ∈ W 與 z ∈ W⊥ 使 u = w + z
• 第 5 題（10%）｜找 R³ 上的 orthogonal 算子 T 使 T((1/√2, 0, −1/√2)^T) = (0, 0, 1)^T

離散數學考點（6–13，50%）

• 第 6(1) 題｜從 4 個元素的集合到 9 個元素的集合，有幾個 partial function
• 第 6(2) 題｜n 個男生與 n 個女生排成一列，男女交錯的排法數
• 第 6(3) 題｜給 a、b、c、d 四個頂點的 directed graph，判斷這個關係是否為 equivalence relation
• 第 6(4) 題｜同一張 directed graph，求每個頂點的 in-degree 與 out-degree
• 第 7(1) 題｜S = {x | x 是不含位元 1 的位元字串}，判斷是有限、可數無限或不可數；可數無限時要給出與正整數集之間的一對一對應
• 第 7(2) 題｜畫出 f(x) = ⌊x/2⌋ + ⌈x/2⌉ 的圖形
• 第 8(1) 題｜Moon Postal Service 的 11 位數匯票號碼，x₁₁ = (x₁ + … + x₁₀) mod 9 為檢查碼，判斷 88382013456 是否為有效號碼
• 第 8(2) 題｜(2x − 3y)¹² 展開式中 x⁵y⁷ 的係數
• 第 8(3) 題｜R = {(2,2), (3,2), (4,3), (5,4)}，求 R³
• 第 8(4) 題｜判斷題目所給的 7 個頂點的圖是否 connected
• 第 9 題（6%）｜證明下列論證正確：若今天是星期一，我會考數位邏輯或政治學；若政治學教授出國，我不會考政治學；今天是星期一且政治學教授出國；所以我會考數位邏輯
• 第 10 題（6%）｜求矩陣 A 使 [[1, 0, 2], [0, −1, −1], [−1, 1, 2]]A = [[−2, 5, 1], [0, −1, −1], [−1, 2, 3]]
• 第 11 題（6%）｜generating function (3x − 2)³，寫出它決定的數列的 closed form
• 第 12(1) 題｜7¹²² mod 13
• 第 12(2) 題｜集合 {x, {x}, {x, {x}, {a}}} 的基數
• 第 13 題（4%）｜證明對每個正整數 n，1·1! + 2·2! + … + n·n! = (n + 1)! − 1

第 6、7、8 題各 8 分、第 12 題 4 分，卷面沒有標小題配分。

作答時要注意的地方

1. 全卷申論題，卷面沒寫倒扣。
2. 第 2 題給的是 T 作用在 B 的三個向量上的結果，(a)(b)(c) 依序要 [T]_B、standard matrix 與明確式子。
3. 第 4 題 (b) 要寫出 w 與 z 兩個向量。
4. 第 6(1) 題問的是 partial function 的個數。
5. 第 7(1) 題若判斷為可數無限，要寫出一對一對應。
6. 第 8(3) 題要求的是 R 的三次方。
7. 第 9 題要寫出論證的推論過程。
8. 第 1 題的 R 與 113 年第 1 題 R 的前三列相同，兩年給的行不同。

準備方向

• RREF、rank 與四大 subspace：108 第 1 題；106 第 1、2 題、107 第 1 題、109 第 2 題、110 第 2 題、111 第 6 題、112 第 1 題、113 第 1 題、114 第 1 題、115 第 1(a) 題也有。
• basis、座標與 B-矩陣：108 第 2 題；106 第 3 題、111 第 8 題、112 第 3 題、114 第 3 題也有。
• eigenvalue、diagonalization 與 eigenspace：108 第 3 題；106 第 4 題、107 第 3、5 題、109 第 3、5 題、111 第 9 題、112 第 4 題、113 第 2(b)、4 題、114 第 2、5 題、115 第 1(b) 題也有。
• orthogonal projection、reflection 與最近向量：108 第 4 題；109 第 4 題、110 第 3、4 題、111 第 10 題、112 第 5 題、113 第 3 題、114 第 4 題、115 第 3 題也有。
• orthogonal 算子的構造：108 第 5 題；106 第 5 題、110 第 5 題、115 第 4 題也有。
• 計數（permutation、binomial、pigeonhole principle、關係計數）：108 第 6(1)(2)、8(2) 題；106 第 8 題、107 第 8(b)、9(a) 題、110 第 9(1) 題、111 第 2 題、112 第 10 題、114 第 9 題也有。
• 關係與函數：108 第 6(3)、8(3) 題；106 第 9(2)、12 題、107 第 6(b)、9(b)(c)(d) 題、109 第 9(2) 題、110 第 8(1) 題、111 第 3 題、112 第 6、8 題、114 第 9 題也有。
• 圖論：108 第 6(4)、8(4) 題；106 第 7(4) 題、107 第 6(d) 題、109 第 9(1) 題、110 第 8(2) 題、111 第 5 題、112 第 9 題、113 第 5 題、114 第 6、7 題、115 第 5、6 題也有。
• 基數與可數性：108 第 7(1) 題；107 第 6(c) 題、110 第 6 題也有。
• floor 與 ceiling 函數的圖形：108 第 7(2) 題；109 第 8(2) 題也有。
• congruence 與數論：108 第 8(1)、12(1) 題；106 第 7(2)(3)、10 題、107 第 10 題、109 第 10 題、111 第 4(2) 題、112 第 7 題、113 第 7 題、114 第 8 題、115 第 7 題也有。
• 邏輯與 quantifier：108 第 9 題；106 第 6、7(1) 題、107 第 7 題、109 第 6 題、110 第 10(1) 題、111 第 4(1) 題也有。
• 矩陣方程、inverse 與冪次：108 第 10 題；106 第 9(1) 題、107 第 12 題、110 第 10(2) 題也有。
• generating function 與數列的 closed form：108 第 11 題；106 第 11 題、107 第 11 題也有。
• 集合（位元字串、元素個數、相等）：108 第 12(2) 題；107 第 6(a) 題、109 第 8(1) 題也有。
• induction：108 第 13 題；107 第 12 題、109 第 11 題也有。