108 成大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、6 題、100 分，不可使用計算機。

離散部分明訂「請說明如何求解過程，只寫答案不予計分」。

線性代數考點（1–3）

• 第 1 題（15%）｜給一個 4×4 circulant matrix，已知兩個 eigenvector (1,1,1,1)^T 與 (1,i³,i⁶,i⁹)^T，求對應的 eigenvalue λ₀ 與 λ₁
• 第 2 題（20%）｜給 tridiagonal matrix A：(a) 10% 計算 LU 分解 (b) 10% 說明為什麼 A 必為 positive definite
• 第 3 題（15%）｜p(x) = −x³ + cx² + (c+3)x + 1，C 為某矩陣、A 為另一矩陣：(a) 10% 計算 A⁻¹CA (b) 5% 說明 C 是 p(x) 的 companion matrix，並用 (a) 的結果證明 p(x) 無論 c 為何值都只有實根

離散數學考點（4–6）

• 第 4 題（15%）｜給集合 S 上關係 R 的邏輯矩陣 M：(a) 5% 要檢查哪些性質才能判斷是否為 partial order (b) 5% 畫出該序的 Hasse 圖 (c) 5% 找出所有不可比較（incomparable）的元素對
• 第 5 題（15%）｜解耦合的遞迴方程組：A(n) = 3A(n−1) + 2B(n−1)、B(n) = A(n−1) + B(n−1)，A(0) = 15、B(0) = 0
• 第 6 題（20%）｜兩張圖的 max flow 與 min cut：(a) 10% 圖 (a) 的 max flow 與對應的 min cut (b) 10% 圖 (b) 的 max flow 與 min cut，圖 (b) 的標號在節點上，代表節點容量

作答時要注意的地方

1. 離散部分只寫答案不予計分。
2. 第 6(b) 題的容量標在節點上。
3. 第 2、6 題各 20 分，是配分最高的兩題。

準備方向

• circulant matrix 與 root of unity：108 第 1 題、110 第 6 題。
• max flow 與 min cut（108 第 6 題，(b) 小題的容量標在節點上），軟體科 107 第 8 題、112 第 15 題也考 max flow。
• LU 分解與 positive definite 判斷（108 第 2 題）。
• 耦合遞迴方程組（108 第 5 題）。
• companion matrix 與 characteristic polynomial（108 第 3 題）。
• partial order 與 Hasse 圖（108 第 4 題）。