107 成大資工所數學考點分析
線代五題全是矩陣分解（SVD、Jordan、正定判斷、投影），離散則首次出現機率題（條件機率與貝氏定理）佔 30%。
題型與配分
編號 212，系所「電機資訊學院－資訊聯招」，考試科目：計算機數學，考試日期 107 年 2 月 5 日第 3 節，全卷 2 頁、8 題、100 分，不可使用計算機。
同樣明訂「只有答案，沒有計算過程或說明原因，也不予計分」。
| 區段 | 題號 | 配分 |
|---|---|---|
| 一、線性代數 | 1–4 | 50% |
| 二、離散數學 | 5–8 | 50% |
線性代數考點（1–4）
- 第 1 題（25%，5 小題各 5%）｜給一個 4×3 矩陣 A：(a) 求 SVD (b) 求 R(AT) 的正交歸一基底 (c) R(A) (d) N(A) (e) N(AT)。這是「四個基本子空間」的完整考法，而且全部要從 SVD 讀出來
- 第 2 題（10%）｜給矩陣 M：(a) 3% 求最小多項式 (b) 3% 求 Jordan 標準型 (c) 4% 求 Jordan 基底
- 第 3 題（10%）｜給四階矩陣 M：(a) 5% 是否正定？為什麼（用主子式或特徵值） (b) 5% 所有特徵值是否都在 0 與 2 之間？為什麼
- 第 4 題（5%）｜找出向量 P 在 M 的行空間中，且 b − P 與行空間中每個向量正交（正交投影）
離散數學考點（5–8）
- 第 5 題（15%）｜隨機選一個 x1+x2+x3+x4 = 10 的非負整數解（每個解等機率），已知 x1 與 x2 至少有一個等於 2，求 x2 = 2 的條件機率
- 第 6 題（15%）｜兩個箱子（第一箱 5 紅 4 藍、第二箱 3 紅 6 藍），隨機選箱再隨機取球，已知取到紅球，求來自第二箱的機率（貝氏定理）
- 第 7 題（10%）｜解遞迴式 3an − 6an−1 − 3an−2 + 6an−3 = 0（a0 = 1、a1 = 0、a2 = 7）。特徵方程可分解為 (λ−1)(λ−2)(λ+1)
- 第 8 題（10%）｜解同餘方程組 x ≡ 4 (mod 5)、x ≡ 5 (mod 15) 的所有解（中國剩餘定理，但模不互質要特別處理）
這份考卷的難點
- 第 1 題（25 分）是全卷最大的一題，要先算出完整的 SVD，再用 U 與 V 的行向量寫出四個基本子空間的基底。SVD 算錯後面四小題全錯。
- 第 2 題的 Jordan 基底要求廣義特徵向量，是線代的進階內容。
- 第 8 題的模不互質（5 與 15 不互質）—— 標準中國剩餘定理不能直接套用，要檢查相容性。
- 兩題機率合計 30 分，在資工所數學考科中比例偏高，而且都要寫出完整推導。
準備建議
- SVD 與四個基本子空間的對應（107 第 1 題 25 分）是成大線代的核心，與交大 111 第 9 題完全同型
- 條件機率與貝氏定理（107 第 5、6 題）在成大 107 佔 30 分，其他年度較少 —— 但仍值得準備
- Jordan 標準型與最小多項式（107 第 2 題）在成大、台大都考過
- 同餘方程組（107 第 8 題、中興 113）要注意模是否互質