107 成大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、8 題、100 分，不可使用計算機。

卷面同樣明訂「只有答案，沒有計算過程或說明原因，也不予計分」。

線性代數考點（1–4）

• 第 1 題（25%）｜給一個 4×3 矩陣 A：(a) 求 SVD (b) 求 R(A^T) 的 orthonormal basis (c) R(A) (d) N(A) (e) N(A^T)，五小題各 5%
• 第 2 題（10%）｜給矩陣 M：(a) 3% 求 minimal polynomial (b) 3% 求 Jordan form (c) 4% 求 Jordan basis
• 第 3 題（10%）｜給四階矩陣 M：(a) 5% 是否 positive definite，為什麼 (b) 5% 所有 eigenvalue 是否都在 0 與 2 之間，為什麼
• 第 4 題（5%）｜找出向量 P 在 M 的 column space 中，且 b − P 與 column space 中每個向量 orthogonal

離散數學考點（5–8）

• 第 5 題（15%）｜隨機選一個 x₁+x₂+x₃+x₄ = 10 的非負整數解（每個解等機率），已知 x₁ 與 x₂ 至少有一個等於 2，求 x₂ = 2 的 conditional probability
• 第 6 題（15%）｜兩個箱子（第一箱 5 紅 4 藍、第二箱 3 紅 6 藍），隨機選箱再隨機取球，已知取到紅球，求來自第二箱的機率
• 第 7 題（10%）｜解 recurrence 3a_n − 6a_n−1 − 3a_n−2 + 6a_n−3 = 0（a₀ = 1、a₁ = 0、a₂ = 7）
• 第 8 題（10%）｜解 congruence equation 組 x ≡ 4 (mod 5)、x ≡ 5 (mod 15) 的所有解

作答時要注意的地方

1. 只有答案、沒有過程或理由不給分。
2. 第 1 題 25 分，五小題的資料都來自同一個矩陣 A。
3. 第 5、6 題兩題機率合計 30 分。
4. 第 8 題的兩個模數是 5 與 15。

準備方向

• SVD 與四個基本 subspace（107 第 1 題），交大 111 第 9 題同型。
• conditional probability 與 Bayes' theorem（107 第 5、6 題）。
• Jordan form、minimal polynomial 與 Jordan basis（107 第 2 題），台大 109 第 11 題也考 Jordan form。
• positive definite 判斷與 eigenvalue 範圍（107 第 3 題）。
• congruence equation 組：107 第 8 題，中興 115 第 5 題也有。