108 中山資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 1 頁、8 題、100 分，不可使用計算機。卷首規定每題都要寫出詳細步驟，否則該題不給分。

逐題考點

• 第 1 題（14%）｜從 10 位男性與 10 位女性中選 14 人的委員會：(a) 7% 恰好 7 男 7 女 (b) 7% 至少 8 位男性
• 第 2 題（10%）｜驗證 ¬[(r↔p)∧(p↔q)∧(q↔r)] ⇔ [(r→p)∧(p→q)∧(q→r)]，p、q、r 為 atomic proposition
• 第 3 題（14%）｜A、B 為全集 U 中的集合：(a) 7% 用帶 quantifier 的敘述表達真子集 A ⊂ B (b) 7% 對 (a) 的結果取否定，得出 A ⊄ B 的條件
• 第 4 題（14%）｜(a) 7% 9×9 棋盤中有幾個 3×3 方格（題目先說明棋盤含 81 個 1×1 與 1 個 9×9） (b) 7% n×n 棋盤中，1 ≤ k ≤ n 時有幾個 k×k 方格
• 第 5 題（12%）｜S 是五個正整數的集合，最大值不超過 9，證明 S 所有非空子集的元素和不會全部相異
• 第 6 題（12%）｜A 是 Σ* 的非空子集（語言），證明若 A² = A，則空字串 λ ∈ A
• 第 7 題（14%）｜(a) 7% (1 + x + x² + x³ + …)¹⁷ 中 x⁶ 的係數 (b) 7% (1 + x + x² + x³ + …)ⁿ 中 x⁶ 的係數，n ∈ Z⁺
• 第 8 題（10%）｜c、d、p、q ∈ Z 且 p、q > 0，證明若 c ≡ d (mod q) 且 p | q，則 c ≡ d (mod p)

作答時要注意的地方

1. 100 分鐘要寫 8 題，每題都要寫完整步驟。
2. 第 1、3、4、7 題都分成 (a)(b) 兩小題，各 7 分。
3. 第 5 題與 111 年第 1 題同型，只換了集合大小與最大值。
4. 第 3 題 (a) 要寫成 quantifier 敘述，(b) 要對 (a) 寫出的式子取否定。

準備方向

• pigeonhole 與存在性論證（108 第 5 題），106 第 1、5 題、109 第 4 題、110 第 3 題、111 第 1 題、112 第 3 題、114 第 4 題、115 B3 也有。
• 子集和的相異性（108 第 5 題），111 第 1 題換了數字再考一次。
• congruence 與整除的證明（108 第 8 題），109 第 9 題、112 第 8 題也有。
• generating function 與係數（108 第 7 題），106 第 2 題、107 第 1、2 題、109 第 6 題、113 第 10 題也有。
• combinatorial counting：委員會選取與棋盤（108 第 1、4 題），109 到 115 年每年都有計數題。
• propositional logic 與 quantifier（108 第 2、3 題），115 B2 也有 truth table。
• formal language 與 Σ∗ 上的集合運算（108 第 6 題），107 第 3 題也考 Σ∗ 的子集 A 與 A∗，110 第 4 題、112 第 4 題的 Σ 與 A = ⋃Σⁿ 是同一套記號。