108 交大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、11 題、100 分，不可使用計算機。

線性代數考點（1–5）

• 第 1 題（8%）｜V 為 2×2 實矩陣空間、P₃ 為次數 ≤ 3 的多項式空間，給定 linear transformation T : V → P₃，求 rank 與 nullity
• 第 2 題（5%）｜證明：n 為奇數時，實矩陣 A 不可能滿足 A² + I = O
• 第 3 題（12%）｜C[−1,1] 上由 {e^x, e^2x, e^3x} span 的空間 V：(a) 2% 證明 V 是 C[−1,1] 的 subspace (b) 5% 證明 B = {e^x, e^2x, e^3x} 是 V 的 basis (c) 5% 證明 B′ = {e^x − 2e^3x, e^x + e^2x + 2e^3x, 3e^2x + e^3x} 也是 basis
• 第 4 題（15%）｜給 A 與 b，已完成 Gram-Schmidt 與 QR 分解的第一步：(a) 5% 求出 q₂、q₃ 並填完 Q (b) 5% 求出 R (c) 5% 用 QR 分解求 Ax = b 的 least squares 解
• 第 5 題（10%）｜給 3×3 矩陣 C：(a) 5% 求 lim_k→∞ C^k (b) 5% 計算 e^C（matrix exponential）

離散數學考點（6–11）

• 第 6 題（8%）｜Q(x) 為「x + 1 > 2x」，domain 為所有整數，判斷 ∃xQ(x)、∀xQ(x)、∃x¬Q(x)、∀x¬Q(x) 的真值
• 第 7 題（9%）｜三個條件句是否為 tautology：p → (q ∨ r)、p → (q → r)、(p → q) ∨ (¬q → r)。是的話要證明，不是的話要給反例
• 第 8 題（8%）｜判斷四個函數是否為 R → R 的 bijection：−3x+4、−3x²+7、(x+1)/(x+2)、x³+1
• 第 9 題（10%）｜紅球集 R（|R| = m）與藍球集 B（|B| = n）構成 complete bipartite graph G，m < n：(a) 4% minimum edge cut E′ 的大小 (b) 6% G′ = G − E′ 時所有頂點的 degree 總和
• 第 10 題（5%）｜S 為長度 n 的所有位元串，a L b 若且唯若恰有 k 個位元不同，問 R 的 0-1 矩陣中有幾個 1
• 第 11 題（10%）｜長度 n 的 DNA 序列（C/G/A/T），a_i 為長度 i 且含有兩個連續 G 的序列數，可表示成 a_n = s·a_n−1 + t·a_n−2 + f(n)：(a) 3% 求 a₄ (b) 3% 求 s + t (c) 4% 求 f(n) 的定義

作答時要注意的地方

1. 第 3 題 12 分，三小題都是證明。
2. 第 5(b) 要計算 matrix exponential e^C。
3. 第 11 題要自己導出 recurrence relation，題目條件是序列「含有」兩個連續 G。
4. 第 2 題只有 5 分，是證明題。

準備方向

• QR 分解與 least squares 解（108 第 4 題 15 分）。
• 矩陣的極限與 matrix exponential（108 第 5 題），106 第 13 題的 Markov chain 也屬同一類。
• 函數空間的 linearly independent 與 basis 證明（108 第 3 題）。
• recurrence 的建模（108 第 11 題）。