110 交大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 5 頁、10 題、100 分，不可使用計算機。

第 10(c) 卷面寫著：「Please leave it blank if you don't know the correct answer, or you will get at most minus 5 points for the wrong answer. 不會寫請留白，答錯最多倒扣 5 分，扣至本題組 0 分為止。」交大數學 106–115 年中，這一年是第一次出現倒扣。

離散數學考點（1–7）

• 第 1 題（5%）｜實數 0.02468101214161820…（把偶數依序接起來）的小數點後第 1000 位是什麼
• 第 2 題（15%）｜(a) 5% 給一個元素為巢狀集合的集合 P，求 2^P 的元素個數 (b) 5% 無限集合 W 的定義是什麼 (c) 5% 用你的定義嚴格證明 S = {k/2ⁿ} 是無限集合
• 第 3 題（5%）｜n 個自然數的 gcd = g、lcm = l，求乘積 p = z₁z₂…z_n 以 n、g、l 表示的最大與最小可能值
• 第 4 題（5%）｜1000 到 5000 之間不被 4、5 或 6 整除的整數有幾個
• 第 5 題（5%）｜x₁+x₂+x₃ = k 在 x₁≥2、1≤x₂≤5、0≤x₃≤3 限制下解數 a_k 的 generating function
• 第 6 題（5%）｜證明兩個 equivalence relation 的交集 R₁ ∩ R₂ 仍是 equivalence relation
• 第 7 題（10%，5 小題各 2%）｜是非題並簡要說明：n-cube Q_n 是否為 regular graph、Q_n 邊數的 recurrence E_n+1 = 2ⁿ + 2E_n、K₂,₃ 與 K₃,₃ 是否為 planar graph、給定加權 adjacency matrix 時兩點間 shortest path 的條數、是否存在指定端點的 Euler path

線性代數考點（8–10）

• 第 8 題（10%，10 個是非題，答對 +1、答錯 −1、未答 0）｜A^T+A 是否必 symmetric、Ax=0 有非零解時 A 是否可逆、R³ 在 R³ 中的 orthogonal complement、m<n 且 full row rank 時 Ax=b 的解數、⟨u,v⟩=0 是否蘊含 u ∈ S⊥、symmetric matrix 的 C(A^T) 與 N(A^T)、linearly dependent 集合去掉一個是否仍 linearly dependent、(U⊥)⊥ 與 U 的關係、N(A) 與 C(A^TA) 的關係、rank(AB) 與 rank A、rank B 的大小關係
• 第 9 題（15%，5 小題各 3%，答錯 −1）｜(a) W 與 W⊥ 的 dimension 關係 (b) 7×5 且 rank = 5 的矩陣，Ax = b 的解與 least squares 解的個數 (c) 求 least squares 解 β (d) 求 b 在 u 上的 orthogonal projection (e) 求 y 在 span{u₁,u₂} 中的最近點
• 第 10 題（25%）｜(a) 5% (i) det(A⁻¹) 與 det(A) 的關係是否為真 (ii) block upper triangular matrix 的 determinant (iii) 求一個 5×5 矩陣的 determinant (b) 10% 給三階遞迴 G_k+3 = −2G_k+2 + 2G_k+1 + 4G_k（G₀=7, G₁=−6, G₂=20），求 G₁₀₀ (c) 10% 證明 n×n 矩陣中相異 eigenvalue 對應的 eigenvector linearly independent（k ≤ n 的一般情形），答錯倒扣 5 分

作答時要注意的地方

1. 第 8 題 10 分、第 9 題 15 分、第 10(c) 10 分有倒扣，合計 35 分的區塊要先讀完計分說明。
2. 第 10(c) 答錯最多倒扣 5 分，扣至本題組 0 分為止。
3. 第 2(b)(c) 要先給出無限集合的定義，再用該定義證明。
4. 第 10(b) 求的是 G₁₀₀。

準備方向

• eigenvector linear independence 的證明（110 第 10(c) 題）。
• orthogonal projection、least squares 解、最近點（110 第 9 題），107、108、110 都有。
• inclusion-exclusion 與 generating function（110 第 4、5 題）。
• 倒扣題型：110、111、113、115 年都出現「不會寫請留白」的證明題。