110 師大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 2 頁、10 大題、100 分，申論題，卷面沒寫倒扣。卷面注意事項只有「請依序在答案卷上作答，並標明題號，不必抄題」與「答案必須寫在指定作答區內，否則依規定扣分」兩項。

卷首有一段 Related notations，定義 column vector、linear operator、transpose、orthogonal matrix 與 orthogonal operator，後面題目沿用這些記號。

線性代數考點（1–5，50%）

• 第 1(a) 題（5%）｜給 4×4 矩陣 A 與 B，求 A⁻¹B^T 的 determinant
• 第 1(b) 題（3%）｜同一組 A、B，求 A⁻¹C 的 determinant，其中 C = 3B^T
• 第 2 題（6%）｜給 4×3 矩陣 A，求 Col A、Row A、Null A^T 各自的 dimension
• 第 3 題（12%）｜R³ 對平面 W : x − 2y + 3z = 0 的 reflection operator T_W，要求寫出明確公式
• 第 4 題（12%）｜不相容方程組 Ax = b（A 為 3×3），用 least squares 法求使 ‖Az − b‖ 最小的向量 z
• 第 5 題（12%）｜給 v₁ = (1/3)(1, 2, 2)^T、v₂ = (1/3)(2, 1, −2)^T、w₁ = (1/7)(2, 3, 6)^T、w₂ = (1/7)(6, 2, −3)^T，找 R³ 上的 orthogonal 算子 T 使 T(v₁) = w₁、T(v₂) = w₂

離散數學考點（6–10，50%）

• 第 6 題（10%）｜A = {x | x ∈ Z 且 x > 20}，判斷是有限、可數無限或不可數；若可數無限要給出與正整數集之間的一對一對應，若有限要寫出基數
• 第 7 題（10%）｜recurrence a_n = 4a_n−1 − 4a_n−2（n ≥ 2），a₀ = 6、a₁ = 8
• 第 8(1) 題｜給 4×4 的 0-1 矩陣，判斷它表示的關係是否為 equivalence relation
• 第 8(2) 題｜給六個頂點 a–f 的圖，判斷是否為 planar graph，若是要畫成邊不交叉的樣子
• 第 9(1) 題｜一所大學有 36 個不同的上課時段、769 門課，問至少需要幾間教室
• 第 9(2) 題｜用 σ(1)=3、σ(2)=5、σ(3)=1、σ(4)=2、σ(5)=4 的 transposition cipher，以每 5 個字母為一組加密 RUNNING REINDEERS，最後一組不足 5 個字母時補 X
• 第 10(1) 題｜domain of discourse 為全體整數，對 ∀x∃y(y² = x) 找反例（若可能）
• 第 10(2) 題｜A = [[−1, −2], [1, 3]]，求 (A⁻¹)³

作答時要注意的地方

1. 全卷申論題，卷面沒寫倒扣。
2. 第 1 題兩小題共用同一組 A、B，(b) 的 C = 3B^T。
3. 第 3 題要求的是 reflection operator 的明確公式。
4. 第 5 題要找的是 orthogonal 算子，題目給了兩組向量的對應。
5. 第 8、9、10 題各 10 分，各分兩小題，卷面沒有標小題配分。

準備方向

• determinant 與 row operation：110 第 1 題；111 第 7 題、113 第 2(a) 題也有。
• RREF、rank 與四大 subspace：110 第 2 題；106 第 1、2 題、107 第 1 題、108 第 1 題、109 第 2 題、111 第 6 題、112 第 1 題、113 第 1 題、114 第 1 題、115 第 1(a) 題也有。
• orthogonal projection、reflection 與最近向量：110 第 3、4 題；108 第 4 題、109 第 4 題、111 第 10 題、112 第 5 題、113 第 3 題、114 第 4 題、115 第 3 題也有。
• orthogonal 算子的構造：110 第 5 題；106 第 5 題、108 第 5 題、115 第 4 題也有。
• 基數與可數性：110 第 6 題；107 第 6(c) 題、108 第 7(1) 題也有。
• recurrence 與遞迴定義：110 第 7 題；107 第 8(a) 題、109 第 7 題、111 第 1 題、114 第 9(b) 題也有。
• 關係與函數：110 第 8(1) 題；106 第 9(2)、12 題、107 第 6(b)、9(b)(c)(d) 題、108 第 6(3)、8(3) 題、109 第 9(2) 題、111 第 3 題、112 第 6、8 題、114 第 9 題也有。
• 圖論：110 第 8(2) 題；106 第 7(4) 題、107 第 6(d) 題、108 第 6(4)、8(4) 題、109 第 9(1) 題、111 第 5 題、112 第 9 題、113 第 5 題、114 第 6、7 題、115 第 5、6 題也有。
• 計數（permutation、binomial、pigeonhole principle、關係計數）：110 第 9(1) 題；106 第 8 題、107 第 8(b)、9(a) 題、108 第 6(1)(2)、8(2) 題、111 第 2 題、112 第 10 題、114 第 9 題也有。
• transposition cipher：110 第 9(2) 題。
• 邏輯與 quantifier：110 第 10(1) 題；106 第 6、7(1) 題、107 第 7 題、108 第 9 題、109 第 6 題、111 第 4(1) 題也有。
• 矩陣方程、inverse 與冪次：110 第 10(2) 題；106 第 9(1) 題、107 第 12 題、108 第 10 題也有。