師大資工所數學考古題六年大統整（110–115）
題型演變
| 年度 | 頁數 | 題數 | 順序 | 特色 |
|---|---|---|---|---|
| 110 | 2 | 10 | 線代 → 離散 | 反射算子、正交算子構造；離散考轉置密碼 |
| 111 | 2 | 10 | 離散 → 線代 | Master Theorem、Hamilton 迴路的存在論證 |
| 112 | 2 | 10 | 線代 → 離散 | 第 9 題「度數兩兩相異」是六年最精巧的圖論題 |
| 113 | 3 | 7 | 線代 → 離散 | 第 6 題單題 25 分：隨機 0/1 矩陣的機率與 Ramsey 論證 |
| 114 | 2 | 9 | 線代 → 離散 | 離散改為「只寫答案、不必解釋」 |
| 115 | 2 | 7 | 線代 → 離散 | 離散只考自補圖（35 分）與中國剩餘定理（15 分） |
111 年是唯一把離散排在前面的一年。師大的順序不固定，進場先掃過整份卷子再決定作答順序。
重複出題清單
| 題目 | 出現年度 |
|---|---|
| 正交投影矩陣 P_W ＋「W 中離 v 最近的向量」 | 110、111、112、113、114、115 六年全中 |
| 反射算子 T_W 對某平面的顯式公式 | 110 第 3 題、113 第 3(a) 題 |
| 構造正交算子 T 使 T(v) = w | 110 第 5 題、115 第 4 題 |
| 由 RREF 與部分行反推矩陣 A | 113 第 1(a) 題、115 第 1(a) 題 |
| 求使線性算子「不可對角化」的參數 c | 113 第 2(b) 題、115 第 1(b) 題 |
| 階梯式基底的座標變換 [v]_𝒜 → [v]_ℬ | 112 第 3 題、114 第 3 題 |
| 行列式對三種列運算的反應 | 110 第 1 題、111 第 7 題、113 第 2(a) 題 |
| 正交對角化／譜分解 | 111 第 9 題、112 第 4 題、113 第 4 題 |
| 由特徵值與特徵向量反推矩陣 | 114 第 5 題 |
| 圖的度數序列 | 112 第 9 題、114 第 6、7 題、115 第 6 題 |
| 中國剩餘定理／線性丟番圖方程 | 113 第 7 題、114 第 8 題、115 第 7 題（三年連續） |
| 模運算與反元素／費馬小定理 | 111 第 4(2) 題、112 第 7 題 |
| 關係的計數（對稱、反身、遞移） | 110 第 8(1) 題、112 第 8 題、114 第 9 題 |
| 函數計數（總數、單射、滿射） | 112 第 6 題 |
主題出現年度一覽
| 主題 | 出現年度 |
|---|---|
| 正交投影、正交補、最小平方 | 110、111、112、113、114、115 |
| 特徵值、對角化、譜分解 | 111、112、113、114、115 |
| RREF 與四大子空間 | 110、111、112、113、114、115 |
| 行列式的性質 | 110、111、113 |
| 座標變換與 B-矩陣 | 111、112、114 |
| 矩陣分解（QR、譜分解） | 113、115 |
| 圖論（度數、Hamilton、平面圖、自補圖） | 110、111、112、114、115 |
| 數論（同餘、CRT、丟番圖） | 111、112、113、114、115 |
| 關係與函數的計數 | 110、112、114 |
| 遞迴式 | 110、111、114 |
| 機率 | 113 |
| 基數與可數性 | 110 |
| 邏輯與量詞 | 110、111 |
| 密碼學（轉置密碼） | 110 |
必守的三個題型
1. 正交投影矩陣（六年全中，每年 10–12 分）
這是師大最穩定的送分題，六年沒有一年缺席，而且問法幾乎一樣：
給一個由方程組定義的子空間 W，(a) 求正交投影矩陣 P_W，(b) 求 W 中離 v 最近的向量。
標準流程：
- 解方程組得 W 的一組基底，排成矩陣 A
- P_W = A(ATA)−1AT
- 最近的向量就是 P_W v；若還要 z ∈ W⊥，則 z = v − P_W v（115 年第 3 題）
變體：反射算子是 T_W(x) = 2P_W x − x（110、113 年），正交算子則是保長度保內積的構造題（110、115 年）。
2. RREF 的反向操作（113、115 連兩年）
師大不太考「給矩陣算 RREF」，而是反過來：
- 給 RREF 與部分行，反推整個矩陣 A（113 第 1 題、115 第 1 題）——非 pivot 行可由 pivot 行依 R 的係數線性組合得出
- 給 A 的 RREF，推論變形矩陣的 RREF（114 第 1 題）——[A|0]、[A 的前 k 行]、[A|cA]
- 由線性相依關係反推 RREF（111 第 6 題）
3. 數論三連發（113、114、115 三年連續）
| 年度 | 題目 | 技巧 |
|---|---|---|
| 113 | 三個同餘式求第二小的正整數解 | CRT，總模數 26×11×57 = 16302 |
| 114 | 314x + 159y = 26，求第二小的 x | 擴展歐幾里得 + 通解 x ≡ x0 (mod 159) |
| 115 | 給「差一個數字」的已知解，求新解 | 觀察兩系統只差第一式，加上 δ ≡ 1 (mod 314)、≡ 0 (mod 其餘) |
三年都問「第二小」或「用已知解推新解」，代表師大不只要你會套 CRT，還要你理解解的週期結構。
給 116 年考生的策略
- 正交投影那 10–12 分一定要拿。 六年全中、公式固定、流程固定，是全卷 CP 值最高的一題。
- 注意 114 年的「離散只寫答案」是否延續。 114 年離散 50 分沒有部分分數、115 年又回到申論。兩種都要準備，但如果遇到「只寫答案」的格式，計算的正確率比推導能力更關鍵。
- 卷首的 notations 一定要讀完再作答。 師大會在那裡定義 [T]_B、[v]_B、S⊥、orthogonal operator 等記號，甚至（如 115 年第 2 題）直接把 QR 分解的定義寫給你。
- 師大離散近三年明顯偏向「證明與論證」：113 年的 prove or disprove 佔 40 分、115 年的自補圖論證佔 30 分。要練習快速造反例，而不只是計算。
- 線代六年的重心非常集中：正交投影、RREF、對角化／譜分解、行列式列運算、座標變換——五塊就涵蓋了全部 50 分。把這五塊練熟，線代幾乎滿分。
- 自補圖（115）、隨機矩陣的期望值（113）、轉置密碼（110） 這類「只出現一次」的冷門題每年都有一到兩題，是拉開分數的地方，但不值得為了它們犧牲前面的基本盤。
本頁的題型、配分、作答規定均直接取自各年度試卷標示；主題出現年度與重複題比對為逐題整理。若發現有誤，歡迎來信指正。