師大資工所考古題解答數學十年大統整（106–115）

各章配分

表中數字是各題的卷面配分，依主題加總。有子題的照子題分，卷面沒有標小題配分的大題平均分給各小題。離散與線代分開列，各自依十年合計排序，顏色越深，占當年總分的比例越高。orthogonal operator 的構造算在線代的 Inner Products & Norms，reflection operator 算在 Orthogonal Projection。

章／細項	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	合計	占比	年數
Linear Algebra	54	50	56	50	55	50	50	50	50	50	515	52%	10
Inner Product Spaces	12	10	22	12	36	12	10	13	12	34	173	17%	10
Orthogonal Projection & Complement			12	12	12	12	10	13	12	11	94	9%	8
Inner Products & Norms	12		10		12					12	46	5%	4
Gram-Schmidt & QR		10								11	21	2%	2
Least Squares					12						12	1%	1
Linear Transformations	10	10	12	20		10	10				72	7%	6
Linearity, Kernel & Range		10		20			10				40	4%	3
Matrix Representation & Change of Basis	10		12			10					32	3%	3
Symmetric & Normal Matrices		12		10		12	10	13	10		67	7%	6
Spectral Theorem & Orthogonal Diagonalization		12		10		12	10	13	10		67	7%	6
Vector Spaces	10	8			6	4	20	8	10		66	7%	7
Rank & Nullity	10	8			6	4	6	8			42	4%	6
Basis, Dimension & Coordinates							10		10		20	2%	2
Linear Independence & Span							4				4	<1%	1
Matrices & Linear Systems	14		12		5	4		6	9	8	58	6%	7
Linear Systems & Row Reduction	10		6			4		6	9	8	43	4%	6
Matrix Inverse	4		6		5						15	2%	3
Eigenvalues & Diagonalization	8	10	10	8				5	9	8	58	6%	7
Diagonalization & Similarity	8	10		8				5	9	8	48	5%	6
Eigenvalues & Eigenvectors			10								10	1%	1
Determinants					8	8		5			21	2%	3
Discrete Mathematics	46	50	44	50	45	50	50	50	50	50	485	48%	10
Sets, Relations & Functions	10	16	16	12	15	10	25		20		124	12%	8
Relations	4	2	4		5	5	10		20		50	5%	7
Functions	6	8	6	4		5	15				44	4%	6
Sets		4	6	4	10						24	2%	4
Partial Orders & Lattices		2		4							6	<1%	2
Graph Theory	2	2	4	4	5	10	15	15	20	35	112	11%	10
Graph Basics & Isomorphism	2	2	4				15	15	20	35	93	9%	7
Euler & Hamilton				4		10					14	1%	2
Planar Graphs					5						5	<1%	1
Number Theory	10	6	4	8		5	5	10	10	15	73	7%	9
Modular Arithmetic	10	6	4	8		5	5	10		15	63	6%	8
Divisibility & GCD									10		10	1%	1
Logic & Proofs	10	14	10	18	5	5					62	6%	6
Propositional & Predicate Logic	10	8	6	8	5	5					42	4%	6
Proof Techniques & Induction		6	4	10							20	2%	3
Recurrences & Generating Functions	6	10	6	8	10	10					50	5%	6
Generating Functions	6	6	6								18	2%	3
Linear Recurrence Relations				8	10						18	2%	2
Other Recurrences		4				10					14	1%	2
Counting	8	2	4		5	10	5	15			49	5%	7
Pigeonhole Principle	8				5			15			28	3%	3
Binomial Identities		2	2			5	5				14	1%	4
Permutations & Combinations			2			5					7	<1%	2
Probability								10			10	1%	1
Other					5						5	<1%	1

八校各章配分比較 →

線代這邊 Inner Product Spaces 合計 173 分、十年每年都有，orthogonal projection、reflection、least squares 與 orthogonal operator 的構造都在這一章。離散這邊 Sets, Relations & Functions 124 分最多，Graph Theory 112 分、十年每年都有，115 年一年就 35 分。

重複出題清單

題目	出現年度
orthogonal projection 矩陣 P_W	108 第 4(a) 題、109 第 4(a) 題、111 第 10 題、112 第 5 題、114 第 4 題（111、112、114 接著問 W 中離 v 最近的向量）
orthogonal decomposition u = w + z（w ∈ W、z ∈ W⊥）	108 第 4(b) 題、109 第 4(b) 題、115 第 3 題
W 中離 u 最近的向量	113 第 3(b) 題
reflection operator T_W 對某平面的顯式公式	110 第 3 題、113 第 3(a) 題
構造 orthogonal operator T，使給定向量對應到給定向量	106 第 5 題、108 第 5 題、110 第 5 題（給兩組向量）、115 第 4 題；106 第 5 題與 115 第 4 題的 v、w 相同
由 RREF 與部分行反推矩陣 A	106 第 1 題、108 第 1 題、113 第 1(a) 題、115 第 1(a) 題；108 與 113 的 R 前三列相同
求使線性算子不 diagonalizable 的參數 c	106 第 4 題、109 第 3 題、113 第 2(b) 題、115 第 1(b) 題（106、109 題目直接給 characteristic polynomial）
由三個向量的像決定 linear transformation	107 第 2 題、112 第 2 題（兩年輸入的三個向量相同）、109 第 1 題（R² → R³）
B-矩陣 [T]_B 與 standard matrix	106 第 3 題（由 [T]_B 求 T）、108 第 2 題、111 第 8 題
由 basis 𝒜 換成新 basis ℬ 的座標變換 [v]_𝒜 → [v]_ℬ	112 第 3 題（ℬ = {u₁, u₁+u₂, …, u₁+u_n}）、114 第 3 題（v_i = u_i + u_i+1 + … + u_n）
determinant 的性質與 row operation	110 第 1 題、111 第 7 題、113 第 2(a) 題
orthogonal diagonalization、spectral decomposition	107 第 5 題、109 第 5 題、111 第 9 題、112 第 4 題、113 第 4 題
由 eigenvalue 與 eigenvector 求矩陣	107 第 3 題、114 第 5 題
解矩陣方程 BA = C 求 A	106 第 9(1) 題、108 第 10 題
generating function 求數列的封閉式	106 第 11 題（x³/(1+3x)）、107 第 11 題（(3x−1)³）、108 第 11 題（(3x−2)³）
判斷集合有限、可數無限或不可數，可數時給一對一對應	107 第 6(c) 題、108 第 7(1) 題、110 第 6 題
floor／ceiling 函數的圖形	108 第 7(2) 題、109 第 8(2) 題
induction 證明	107 第 12 題、108 第 13 題、109 第 11 題（指定 strong induction）
用 quantifier 與 predicate 寫出敘述或其否定	107 第 7(b) 題、109 第 6 題、111 第 4(1) 題
binomial 展開的係數	107 第 9(a) 題、108 第 8(2) 題、111 第 2(2) 題（108 與 111 都是 (2x − 3y) 的次方）
圖的 degree	108 第 6(4) 題（directed graph 的 in-degree 與 out-degree）、112 第 9 題、114 第 6、7 題；115 第 6(ii) 題的題目附註也提到 degree sequence
Chinese remainder theorem、linear Diophantine equation、modular inverse	106 第 10 題、107 第 10 題、109 第 10 題（modular inverse）、113 第 7 題、114 第 8 題、115 第 7 題
modular arithmetic	106 第 7(2)(3) 題、108 第 8(1)、12(1) 題、111 第 4(2) 題、112 第 7 題（108 第 12(1) 題 7¹²² mod 13 與 111 第 4(2) 題 7¹²³ mod 11 問法相同）
relation 的性質、closure、composition 與計數	106 第 9(2) 題、107 第 9(b)(c) 題、108 第 6(3)、8(3) 題、109 第 9(2) 題、110 第 8(1) 題、111 第 3(1) 題、112 第 8 題、114 第 9 題
function 計數（總數、injection、surjection、partial function）	107 第 8(b) 題、108 第 6(1) 題、112 第 6 題

優先準備的四個題型

1. Orthogonal projection 相關（108 年起每年都有）

108 年起每年都有一到兩題以 orthogonal projection 為核心的題，106、107 年沒有：

年度	題目	配分
108	第 4 題：W 是兩個方程式的解集，求 P_W 與 u = w + z	12
109	第 4 題：W 是一個方程式的解集，求 P_W 與 u = w + z	12
110	第 3 題 reflection operator、第 4 題 least squares	各 12
111	第 10 題：W 是兩個方程式的解集，求 P_W 與最近向量	12
112	第 5 題：W 是 Span 的 orthogonal complement，求 P_W 與最近向量	10
113	第 3 題：reflection operator 與 W 中離 u 最近的向量	13
114	第 4 題：W 是矩陣的 row space，求 P_W 與最近向量	12
115	第 3 題：W 是兩個方程式的解集，求 u = w + z 的 orthogonal decomposition	11

另外有保長度的 orthogonal operator 構造題（106 第 5 題、108 第 5 題、110 第 5 題、115 第 4 題），107 年第 4 題是 Gram-Schmidt。

2. RREF 與 subspace（十年每年都有）

給 RREF 與部分行，反推整個矩陣 A：106 第 1 題、108 第 1 題、113 第 1 題、115 第 1(a) 題
給 A 的 RREF，求變形矩陣的 RREF：114 第 1 題
由 linear dependence 關係求 RREF：111 第 6 題
求 rank 與 nullity、各 subspace 的 dimension 或 basis：106 第 2 題、107 第 1 題、109 第 2 題、110 第 2 題、112 第 1(b) 題

3. 數論（十年九年有，110 年沒有）

年度	題目	類型
106	四個同餘式的方程組，求所有解	Chinese remainder theorem
107	兩個同餘式的方程組，求所有解	Chinese remainder theorem
108	檢查碼、7¹²² mod 13	modular arithmetic
109	55 模 102 的 inverse	modular inverse
111	7¹²³ mod 11	modular arithmetic
112	質數模的 congruence 證明	證明
113	三個同餘式求第二小的正整數解	Chinese remainder theorem
114	314x + 159y = 26，求第二小的 x	linear Diophantine equation
115	題目給了一個相近方程組的已知解，求新方程組的一個特解	congruence 方程組

4. 106 到 109 年反覆出現的離散小題

generating function 求封閉式（106、107、108 三年同一個問法）、induction（107、108、109）、判斷集合是否可數並給一對一對應（107、108，110 年也有）、floor／ceiling 函數的圖形（108、109）、用 quantifier 寫出敘述（107、109，111 年也有）。這幾年的離散每題 6 到 8 分，小問多。

題型演變

年度	頁數	題數	順序	特點
106	4	12	線代 → 離散	knights and knaves、pigeonhole principle、四個同餘式的方程組、generating function
107	4	12	線代 → 離散	Gram-Schmidt 與 spectral decomposition；離散有 self-converse directed graph、遞迴定義的 S(m, n)
108	3	13	線代 → 離散	十年題數最多；論證有效性、floor 加 ceiling 的圖形、induction
109	3	11	線代 → 離散	搬磚的 recurrence、Euler path、55 模 102 的 inverse、strong induction
110	2	10	線代 → 離散	reflection operator、least squares 與 orthogonal operator 構造；離散有 transposition cipher
111	2	10	離散 → 線代	divide-and-conquer recurrence、Hamilton 迴路與路徑
112	2	10	線代 → 離散	第 9 題：n−1 個頂點 degree 兩兩相異的連通 simple graph（15 分）
113	3	7	線代 → 離散	第 6 題單題 25 分：隨機 0/1 矩陣的機率與四個同值元素的存在性
114	2	9	線代 → 離散	離散第 6–9 題只寫答案、不必解釋
115	2	7	線代 → 離散	離散是 graph isomorphism 的定義與 self-complementary graph（共 35 分）、congruence 方程組（15 分）

十年都是一段線代、一段離散，各 50 分，111 年是唯一把離散排在前面的一年。卷面沒有標示分區，106 第 9(1) 題、108 第 10 題、110 第 10(2) 題排在離散那一段，內容是矩陣，表上算在線代，所以這三年表上的線代是 54、56、55 分。106 到 109 年離散有六到八大題，每題 4 到 10 分，多數分成幾個小問；110 到 112 年是五大題，114 年是四大題，113 年與 115 年只有三大題。106 到 108 年卷首的 Notations 註明可以略過。

給 116 年考生的準備方向

108 年起每年都有 orthogonal projection 相關的題，配分 10 到 13 分，110 年有兩題。
114 年離散 50 分只寫答案，卷面註明不必解釋，115 年離散沒有這個註記，106 到 113 年也沒有。兩種作答格式都要準備。
題目前面的 notations 要讀完再作答（111 年在第 2 頁頁首）。師大會在那裡定義 [T]_B、[v]_B、S⊥、orthogonal operator 等記號，115 年第 2 題直接把 QR decomposition 的定義寫在題目裡，107 年第 6(b)(d) 題也在題目裡定義 inverse image 與 self-converse。
113 年離散 50 分裡有 35 分是證明或反證（第 5 題 15 分、第 6 題 (a)(c)(d) 共 20 分），115 年第 6 題 30 分要論證或畫圖並論證。要練習找反例。
線代反覆出現的是 RREF（十年）、diagonalization 與 spectral decomposition（九年）、orthogonal projection（八年）、座標變換與 B-矩陣（五年）、orthogonal operator 構造（四年）、determinant 的 row operation（三年）。
106 到 109 年題數多（11 到 13 題），110 年起減到 7 到 10 題，單題配分變大。
只出現一次的主題有 self-complementary graph（115）、隨機矩陣（113）、transposition cipher（110）、knights and knaves（106）、self-converse directed graph（107）。

本頁的題型、配分、作答規定都取自各年度試卷上的標示，各章配分與重複題是逐題整理的。如果發現有誤，歡迎來信指正。

師大資工所考古題詳解數學十年大統整（106–115）