107 師大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 4 頁、12 大題、100 分，申論題，卷面沒寫倒扣。卷面注意事項是「請依序在答案卷上作答，並標明題號，不必抄題」與「答案必須寫在指定作答區內，否則依規定扣分」。

卷首有一段 Notations（卷面註明 You may skip over this part），定義 column vector、matrix transformation induced by A、orthogonal basis 與 orthonormal basis。

線性代數考點（1–5，50%）

• 第 1 題（8%）｜求 4×5 矩陣 [[1, 0, 1, −1, 6], [2, −1, 5, −1, 7], [−1, 1, −4, 1, −3], [0, 1, −3, 1, 1]] 的 rank 與 nullity
• 第 2 題（10%）｜T : R³ → R³ 是 linear transformation，T(−1,1,1)^T = (1,2,3)^T、T(1,−1,1)^T = (−3,0,1)^T、T(1,1,−1)^T = (5,4,3)^T，求 T(x₁, x₂, x₃)^T 對任意 R³ 向量的式子
• 第 3 題（10%）｜求 3×3 矩陣，eigenvalue 為 3、2、2，對應的 eigenvector 依序為 (2,1,1)^T、(1,0,1)^T、(1,1,1)^T
• 第 4 題（10%）｜W 是 S = {u₁, u₂, u₃} span 的 R⁴ subspace，u₁ = (1,1,1,1)^T、u₂ = (2,1,0,1)^T、u₃ = (1,1,2,1)^T，用 Gram-Schmidt 求 W 的 orthogonal basis S′
• 第 5 題（12%）｜symmetric matrix A = [[0, 2, 2], [2, 0, 2], [2, 2, 0]]：(a) 求由 eigenvector 組成的 orthonormal basis 與對應的 eigenvalue (b) 用 (a) 的結果寫出 A 的 spectral decomposition

離散數學考點（6–12，50%）

• 第 6(a) 題｜宇集 U = {1, 2, …, 10}，把集合 {3, 3, 5, 8} 寫成位元字串，規定 i 在集合中時第 i 個位元是 0、不在時是 1，最左邊是第 1 個位元
• 第 6(b) 題｜題目給 inverse image f⁻¹(S) 的定義，f : R → R、f(x) = x²，求 f⁻¹({100})
• 第 6(c) 題｜C = {x | x 是負奇數}，判斷是有限、可數無限或不可數；可數無限時要給出與正整數集之間的一對一對應
• 第 6(d) 題｜題目給 self-converse 的定義（directed graph 與其 converse isomorphism），判斷 a 到 e 五個頂點的 directed graph（c、e 各有 self-loop）是否為 self-converse
• 第 7(a) 題｜判斷 (p→q)∧(q→¬p)∧(¬p→q)∧(q→p) 是否 satisfiable
• 第 7(b) 題｜A(x, y) 表示「x 欣賞 y」，domain of discourse 是全世界的人，用 A(x, y)、quantifier 與邏輯運算子表示「Nobody admires everybody」
• 第 8(a) 題｜S(m, n) 從 N×N 到 N 以四種情況遞迴定義（m = 0 時為 2n；m ≥ 1 且 n = 0 時為 0；m ≥ 1 且 n = 1 時為 2；m ≥ 1 且 n ≥ 2 時為 S(m−1, S(m, n−1))），求 S(2, 2)
• 第 8(b) 題｜從 {1, 2, …, n} 到 {−1, 0, 1} 的函數有幾個
• 第 9(a) 題｜(x + y)²⁵ 展開式中 x¹³y¹² 的係數
• 第 9(b) 題｜判斷 0-1 矩陣 [[1, 1, 1], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] 表示的關係是否為 partial order
• 第 9(c) 題｜M_R = [[0, 1, 1], [1, 1, 0], [1, 0, 1]]，求補關係 R̄ 的矩陣
• 第 9(d) 題｜f : {a, b, c, d} → {1, …, 7}，f(a) = 6、f(b) = 1、f(c) = 3、f(d) = 4，判斷是否一對一
• 第 10 題（6%）｜求 congruence equation 組 x ≡ 3 (mod 6)、x ≡ 4 (mod 11) 的所有解
• 第 11 題（6%）｜generating function (3x − 1)³，寫出它決定的數列的 closed form
• 第 12 題（6%）｜A = [[a, 0], [0, b]]，a、b 為實數，證明對每個正整數 n，Aⁿ = [[aⁿ, 0], [0, bⁿ]]

第 6–9 題各 8 分，各分二到四小題，卷面沒有標小題配分。

作答時要注意的地方

1. 全卷申論題，卷面沒寫倒扣。
2. 第 4 題要的是 orthogonal basis，題目沒有要求單位化。
3. 第 5 題 (b) 要用 (a) 的結果寫 spectral decomposition。
4. 第 6(a) 題的位元規則是在集合中為 0、不在為 1，與一般寫法相反；集合 {3, 3, 5, 8} 裡 3 寫了兩次。
5. 第 6(c) 題若判斷為可數無限，要寫出一對一對應。
6. 第 8(b) 題的 n 是任意正整數，答案以 n 表示。
7. 第 10 題要求所有解。
8. 第 2 題給的三個輸入向量與 112 年第 2 題相同，像不同。

準備方向

• RREF、rank 與四大 subspace：107 第 1 題；106 第 1、2 題、108 第 1 題、109 第 2 題、110 第 2 題、111 第 6 題、112 第 1 題、113 第 1 題、114 第 1 題、115 第 1(a) 題也有。
• 由像決定 linear transformation：107 第 2 題；109 第 1 題、112 第 2 題也有。
• eigenvalue、diagonalization 與 eigenspace：107 第 3、5 題；106 第 4 題、108 第 3 題、109 第 3、5 題、111 第 9 題、112 第 4 題、113 第 2(b)、4 題、114 第 2、5 題、115 第 1(b) 題也有。
• Gram-Schmidt 與 QR 分解：107 第 4 題；115 第 2 題也有。
• 集合（位元字串、元素個數、相等）：107 第 6(a) 題；108 第 12(2) 題、109 第 8(1) 題也有。
• 關係與函數：107 第 6(b)、9(b)(c)(d) 題；106 第 9(2)、12 題、108 第 6(3)、8(3) 題、109 第 9(2) 題、110 第 8(1) 題、111 第 3 題、112 第 6、8 題、114 第 9 題也有。
• 基數與可數性：107 第 6(c) 題；108 第 7(1) 題、110 第 6 題也有。
• 圖論：107 第 6(d) 題；106 第 7(4) 題、108 第 6(4)、8(4) 題、109 第 9(1) 題、110 第 8(2) 題、111 第 5 題、112 第 9 題、113 第 5 題、114 第 6、7 題、115 第 5、6 題也有。
• 邏輯與 quantifier：107 第 7 題；106 第 6、7(1) 題、108 第 9 題、109 第 6 題、110 第 10(1) 題、111 第 4(1) 題也有。
• recurrence 與遞迴定義：107 第 8(a) 題；109 第 7 題、110 第 7 題、111 第 1 題、114 第 9(b) 題也有。
• 計數（permutation、binomial、pigeonhole principle、關係計數）：107 第 8(b)、9(a) 題；106 第 8 題、108 第 6(1)(2)、8(2) 題、110 第 9(1) 題、111 第 2 題、112 第 10 題、114 第 9 題也有。
• congruence 與數論：107 第 10 題；106 第 7(2)(3)、10 題、108 第 8(1)、12(1) 題、109 第 10 題、111 第 4(2) 題、112 第 7 題、113 第 7 題、114 第 8 題、115 第 7 題也有。
• generating function 與數列的 closed form：107 第 11 題；106 第 11 題、108 第 11 題也有。
• induction：107 第 12 題；108 第 13 題、109 第 11 題也有。
• 矩陣方程、inverse 與冪次：107 第 12 題；106 第 9(1) 題、108 第 10 題、110 第 10(2) 題也有。