107 台大資工所考古題詳解｜數學考點分析

題型與配分

全卷 1 頁、10 題、100 分，每題 10 分。1 頁是台大數學 106–115 十份卷子裡最短的。

離散數學考點（1–5，各 10%）

• 第 1 題｜不等式 L ≤ x₁ + x₂ + … + x_n ≤ H 的非負整數解個數
• 第 2 題｜recurrence a_n = 2a_n−1 + 3a_n−2（a₀ = 1、a₁ = 1）的解
• 第 3 題｜平方數數列 1², 2², 3², … 的 generating function
• 第 4 題｜|A| = m 時，A 上同時是 reflexive 與 symmetric 的關係有幾個
• 第 5 題｜n 個節點的 simple labeled graph（允許 self-loop）有幾個，以及恰有 m 條邊的有幾個

線性代數考點（6–10，各 10%）

• 第 6 題｜給 A = [[2,2],[1,3]] 與多項式 f(t) = t⁴ − 3t³ − 6t² + 7t + 2，求 f(A)
• 第 7 題｜給一個 companion matrix 形式的 A（次對角線為 −1、最後一行為 a₀…a_n−1），求 det(A + t·I_n)
• 第 8 題｜在 P₂(t) 上以 ⟨f,g⟩ = ∫f(t)g(t)dt 為 inner product，對 {1, t, t²} 做 orthogonalization（要求整數係數），並求 t³ 在 V 上的 projection
• 第 9 題（全部正確才給分）｜五個線代敘述：兩個 eigenvector 的和是否仍為 eigenvector、A^T = −A 與 singularity、A² = A 時的冪次公式、A = A^T 與 diagonalizable、block matrix 的 inverse
• 第 10 題（全部正確才給分）｜五個敘述：{u,v,w} linearly independent 時 {u+v, v+w, w+u} 是否也 linearly independent、similar matrices 的 eigenvalue 與 eigenvector、tr(B^TA) 是否構成 inner product、(U+W)⊥ 與 U⊥、W⊥ 的關係

作答時要注意的地方

1. 第 9、10 題合計 20 分，每題五個敘述全部判斷正確才給分。
2. 第 5 題的圖允許 self-loop。
3. 第 8 題要求 orthogonalization 後的係數為整數。

準備方向

• 線代的敘述判斷題在 107、108、110、111、112 都有，內容多半是 similar、orthogonal、diagonalizable 的性質。
• 用 Cayley-Hamilton 計算 f(A) 或 A⁻¹，出現在 107 第 6 題、110 第 7 題、111 第 8 題。
• 關係的計數（reflexive、symmetric 等性質的組合個數）。
• generating function（第 3 題）與 recurrence（第 2 題）。